Đến nội dung

Hình ảnh

Đề toán chuyên tuyển sinh vào lớp 10 trường PTNK tp HCM năm 2011


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
phuocthinh02

phuocthinh02

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Câu 1 : Cho pt bậc hai $x^{2}-(m+3)x+m^{2}=0$, trong đó $m$ là tham số sao cho pt có $2$ nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ 

a) Khi $m=1$, chứng minh rằng ta có hệ thức $\sqrt[8]{x_{1}}+\sqrt[8]{x_{2}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{6}}}$

b) Tìm tất cả các giá trị $m$ sao cho $\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}=\sqrt{5}$

c) Xét đa thức $P(x)=x^{3}+ ax^{^{2}}+bx$. Tìm tất cả các cặp số $(a,b)$ sao cho ta có hệ thức $P(x_{1})=P(x_{2})$ với mọi giá trị của tham số $m$

 

Câu 2: 

1) Cho $a,b$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{\sqrt{1+a^{2}}\cdot \sqrt{1+b^{2}}}{1+ab}$

 

2) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $\left | x \right |\leq 1, \left | y \right |\leq 1,\left | z \right |\leq 1$. CMR ta có bất đẳng thức $\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}\leq \sqrt{9-(x+y+z)^{2}}$

 

Câu 3: Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB=b$,$AC=c$, $M$ là một điểm thay đổi trên cạnh $AB$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMC$ cắt cạnh $AC$ tại $N$.

a) CM tam giác $AMN$ đồng dạng với tam giác $ACB$. Tính tỷ số $\frac{MA}{MB}$ để diện tích tam giác $AMN$ bằng một nửa diện tích tam giác $ACB$

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$. CM $I$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.

c) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMC$. CMR độ dài $IJ$ không đổi.

 

Câu 4: Cho $a,b,c$ là các số nguyên sao cho $2a+b,2b+c,2c+a$ đều là các số chính phương $(*)$

a) Biết rằng có ít nhất một trong ba số chính phương nói trên chia hết cho $3$. CMR tích $(a-b)(b-c)(c-a)$ chia hết cho $27$

b) Tồn tại hay không các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $(*)$ sao cho $(a-b)(b-c)(c-a)$ không chia hết cho $27$?

 

 

Câu 5: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3$,$BC=4$

a) CMR từ $7$ điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật $ABCD$ luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $\sqrt{5}$

b) CMR khẳng định ở câu a) vẫn còn đúng với $6$ điểm bất kỳ nằm trong hình chữ nhật $ABCD$

 

 

Mọi người cùng nhau giải đề này nhé!! Khó đấy  :like  :like  :like  :like 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuocthinh02: 28-05-2013 - 22:59

:botay  :rolleyes:  Được voi đòi.....Hai Bà Trưng :rolleyes:   :botay 


#2
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

2) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $\left | x \right |\leq 1, \left | y \right |\leq 1,\left | z \right |\leq 1$. CMR ta có bất đẳng thức $\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}\leq \sqrt{9-(x+y+z)^{2}}$

Bình phương hai vế (hai vế không âm), ta cần chứng minh :

$3-(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2\sqrt{(1-x^{2})(1-y^{2})}+2\sqrt{(1-x^{2})(1-z^{2})}+2\sqrt{(1-z^{2})(1-y^{2})}\leq 9-(x+y+z)^{2}\Leftrightarrow 2\sqrt{(1-x^{2})(1-y^{2})}+2\sqrt{(1-y^{2})(1-z^{2})}+2\sqrt{(1-z^{2})(1-x^{2})}\leq 6-2(xy+yz+zx)$

 

Thật vậy, áp dụng Cô-si :

$2\sqrt{(1-x^{2})(1-y^{2})}\leq (1-x^{2})+(1-y^{2})=2-(x^{2}+y^{2})$

Xây dựng 2 BĐT tương tự và cộng chúng lại theo từng vế : 

$2\sqrt{(1-x^{2})(1-y^{2})}+2\sqrt{(1-x^{2})(1-z^{2})}+2\sqrt{(1-y^{2})(1-z^{2})}\leq 6-2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\leq 6-2(xy+yz+zx)$

 

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z

Như vậy ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 28-05-2013 - 23:04

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

 

Câu 2: 

1) Cho $a,b$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{\sqrt{1+a^{2}}\cdot \sqrt{1+b^{2}}}{1+ab}$

 

Áp dụng BĐT Cô-si :

$P=\frac{\sqrt{1+a^{2}+b^{2}+a^{2}b^{2}}}{1+ab}\geq \frac{\sqrt{1+2ab+a^{2}b^{2}}}{1+ab}=\frac{\sqrt{(1+ab)^{2}}}{1+ab}=1$

$MinP=1\Leftrightarrow a=b$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#4
QuynhTam

QuynhTam

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Câu 2: 

1) Cho $a,b$ là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{\sqrt{1+a^{2}}\cdot \sqrt{1+b^{2}}}{1+ab}$

 

2) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $\left | x \right |\leq 1, \left | y \right |\leq 1,\left | z \right |\leq 1$. CMR ta có bất đẳng thức $\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}\leq \sqrt{9-(x+y+z)^{2}}$

Cách khác nha:

1). Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được: $(a.b+1.1)^2\leqslant (a^2+1)(b^2+1)\\\Leftrightarrow (ab+1)\leqslant \left | ab+1 \right |\leqslant \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}$

=> $\frac{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}{ab+1}\geq 1$

2). Lại áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được:

 $\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2}\leqslant \left | \sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2} \right |\leqslant \sqrt{(1^2+1^2+1^2)(3-(x^2+y^2+z^2))}\Leftrightarrow VT\leq \sqrt{9-3(x^2+y^2+z^2)}$

Ta lại có :$x^2+y^2+z^2\geqslant\frac{(x+y+z)^2}{3}\\\Leftrightarrow -3(x^2+y^2+z^2)\leq -(x+y+z)^2\Leftrightarrow \sqrt{9-(x^2+y^2+z^2)}\leqslant \sqrt{9-(x+y+z)^2}$

=> đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuynhTam: 20-04-2014 - 23:49

  :ukliam2: Nếu muốn có được những thứ chưa từng có thì bạn phải làm những việc chưa từng làm.  :ukliam2: 


#5
PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Câu 4
Đặt $\left\{\begin{matrix} 2a + b = x^{2}\\2b + c = y^{2} \\2c + a = z^{2} \end{matrix}\right.$ với x, y z là các số nguyên.
a) Ta có $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3(a + b + c) \vdots 3$, mà trong 3 số $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ có 1 số chia hết cho 3 nên tổng của 2 số chính phương còn lại cũng chia hết cho 3. Mà số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 nên cả 2 số chính phương này cùng chia hết cho 3.
$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 2a + b \vdots 3\\ 2b + c\vdots 3 \\ 2c + a \vdots 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a - b = 3a - (2a + b) \vdots 3\\b - c = 3b - (2b + c)\vdots 3 \\ c - a = 3c - (2c + a) \vdots 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow (a - b)(b - c)(c - a)\vdots 27$

b) Nếu trong 3 số x, y, z có 1 số chia hết cho 3 thì theo a) (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 27.
Xét trường hợp cả x, y, z cùng không chia hết cho 3.
Từ $\left\{\begin{matrix} 2a + b = x^{2}\\2b + c = y^{2} \\2c + a = z^{2} \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a = \frac{4x^{2}-2y^{2}+z^{2}}{9}\\b = \frac{4y^{2}-2z^{2}+x^{2}}{9} \\c = \frac{4z^{2} - 2y^{2} + x^{2}}{9} \end{matrix}\right.$

Ta tìm x, y , z cùng không chia hết cho 3 sao cho $4x^{2} - 2y^{2} + z^{2}, 4y^{2} - 2z^{2} + x^{2}, 4z^{2} - 2x^{2} + y^{2}$ cùng chia hết cho 9.

Mà $4x^{2} - 2y^{2} + z^{2} \vdots 9 \Rightarrow 9x^{2} - 2.(4x^{2} - 2y^{2} + z^{2}) = 4y^{2} - 2z^{2} + x^{2} \vdots 9 \Rightarrow 9y^{2} - 2.(4y^{2} - 2z^{2} + x^{2}) = 4z^{2} - 2x^{2} + y^{2} \vdots 9$

nên ta chỉ cần tìm x, y, z không chia hết cho 3 sao cho $4x^{2} - 2y^2 + z^{2} \vdots 9$

 

Mà số chính phương không chia hết cho 3 thì chia 9 dư 1, 4 hoặc 7 nên ta có thể tìm được vô số x, y, z thỏa mãn.

Ví dụ với $x^{2}$ chia 9 dư 1, $y^{2}$ chia 9 dư 4, $z^{2}$ chia 9 dư 4 thì $4x^{2} - 2y^{2} + z^{2}$ chia hết cho 9.

Ví dụ với $\left\{\begin{matrix} x^{2} = 64\\ y^2 = 49 \\ z^{2} = 49 \end{matrix}\right.$ thì $\left\{\begin{matrix} a = \frac{256 - 98 + 49}{9} = 23\\b = \frac{4.49 - 98 + 64}{9} = 18 \\c = 4. 49 - 128 + 49 /9 = 13 \end{matrix}\right.$

ta có 2a + b, 2b + c, 2c + a là số chính phương nhưng (a - b)(b - c)(c - a) = 5. 5. (- 10) không chia hết cho 9.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 01-05-2014 - 08:48

Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)


#6
PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Câu 1

Phương trình $x^{2} - (m + 3)x + m^{2} = 0 (1)$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m + 3\\x_{1}x_{2} = m^{2} \end{matrix}\right.$

a) Khi m = 1 ta có $\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 4\\x_{1}x_{2} = 1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}})^{2} = x_{1} + x_{2} + 2\sqrt{x_{1}x_{2}} = 4 + 2 = 6 \Rightarrow \sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} = \sqrt{6}$

 

$\Rightarrow (\sqrt[4]{x_{1}} + \sqrt[4]{x_{2}})^{2} = \sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} + 2\sqrt[4]{x_{1}x_{2}} = \sqrt{6} + 2 \Rightarrow \sqrt[4]{x_{1}} + \sqrt[4]{x_{2}} = \sqrt{2 + \sqrt{6}}$

 

$\Rightarrow (\sqrt[8]{x_{1}} + \sqrt[8]{x_{2}})^{2} = \sqrt[4]{x_{1}} + \sqrt[4]{x_{2}} + 2\sqrt[4]{x_{1}x_{2}} = \sqrt{2 + \sqrt{6}} + 2 \Rightarrow \sqrt[8]{x_{1}} + \sqrt[8]{x_{2}} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{6}}}$

 

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta = (m + 3)^{2} - 4m^{2} > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 2m - 3 = (m + 1)(m - 3) < 0 \Leftrightarrow -1 < m < 3$ (2)

$\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} = \sqrt{5} \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} + 2\sqrt{x_{1}x_{2}} = 5$

$\Leftrightarrow m + 3 + 2\sqrt{m^{2}} = 5$ (3)

 

Nếu $m \geq 0$ thì từ (3) có 3m = 2 $\Leftrightarrow m = \frac{2}{3}$ thỏa mãn (2).

Nếu m < 0 thì từ (3) có -m = 2 hay m = -2 không thỏa mãn (2)

 

Vậy $m = \frac{2}{3}$

 

c) $P(x_{1}) = P(x_{2}) \forall m \Leftrightarrow x_{1}^{3} + ax_{1}^{2} + bx_{1} = x_{2}^{3} + ax_{2}^{2} + bx_{2} \forall m$

$\Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} + a.(x_{1} + x_{2}) + b = 0 \forall m$ (vì $x_{1} \neq x_{2}$)

$\Leftrightarrow (m + 3)^{2} - m^{2} + a(m + 3) + b = 0 \forall m \Leftrightarrow (a + 6)m + (3a + b + 9) = 0 \forall m$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a + 6 = 0\\3a + b + 9 = 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = -6\\b = 9 \end{matrix}\right.$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 02-05-2014 - 17:55

Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh