Đến nội dung


Hình ảnh

$f(\frac{1}{4}f(y)+2x)=4x+y+1$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 29-05-2013 - 09:12

Bài toán 33: Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(\frac{1}{4}f(y)+2x)=4x+y+1$

 

Bài giải :

 

C1: Cố định $x$ ta thấy $f$ song ánh. Nên tồn tại $a$ để $f(a)=0$

Cho $x=\frac{a}{2},y=a$ có $f(\frac{1}{4}f(a)+a)=3a+1 \Rightarrow a=-\frac{1}{3}$
Cho $y=a$ có $f(\frac{1}{4}f(a)+2x)=4x+a+1 \Rightarrow f(2x)=4x+\frac{2}{3} \Rightarrow f(x)=2x+\frac{2}{3}$ (thỏa)
Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=2x+\frac{2}{3}$

 

C2 : Chọn $y=0$ ta có : $f(\frac{1}{4}f(0)+2x)=4x+1$

Đặt $z=\frac{1}{4}f(0)+2x => x=\frac{z-\frac{1}{4}f(0)}{2}$

Khi đó $f(z)=4\frac{z-\frac{1}{4}f(0)}{2}+1=2z-\frac{1}{2}f(0)+1$

Thay ngược vào ta tìm được $f(0)=\frac{2}{3}$ => $f(z)=2z+\frac{2}{3}$ hay $f(x)=2x+\frac{2}{3}$

Vậy $f(x)=2x+\frac{2}{3}$ là hàm cần tìm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 29-05-2013 - 19:45

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Dialga Palkia

Dialga Palkia

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 29-05-2013 - 11:35

Bài toán 33: Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(\frac{1}{4}f(y)+2x)=4x+y+1$

Cố định $x$ ta thấy $f$ song ánh. Nên tồn tại $a$ để $f(a)=0$

Cho $x=\frac{a}{2},y=a$ có $f(\frac{1}{4}f(a)+a)=3a+1 \Rightarrow a=-\frac{1}{3}$

Cho $y=a$ có $f(\frac{1}{4}f(a)+2x)=4x+a+1 \Rightarrow f(2x)=4x+\frac{2}{3} \Rightarrow f(x)=2x+\frac{2}{3}$ (thỏa)

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=2x+\frac{2}{3}$ :icon6:



#3 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 29-05-2013 - 19:44

Cố định $x$ ta thấy $f$ song ánh. Nên tồn tại $a$ để $f(a)=0$

Cho $x=\frac{a}{2},y=a$ có $f(\frac{1}{4}f(a)+a)=3a+1 \Rightarrow a=-\frac{1}{3}$

Cho $y=a$ có $f(\frac{1}{4}f(a)+2x)=4x+a+1 \Rightarrow f(2x)=4x+\frac{2}{3} \Rightarrow f(x)=2x+\frac{2}{3}$ (thỏa)

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=2x+\frac{2}{3}$ :icon6:

 

Thật ra bài này mình thấy kì kì :D ( cái đề chứ không phải bài của bạn ) :

 

Chọn $y=0$ ta có : $f(\frac{1}{4}f(0)+2x)=4x+1$

 

Đặt $z=\frac{1}{4}f(0)+2x => x=\frac{z-\frac{1}{4}f(0)}{2}$

 

Khi đó $f(z)=4\frac{z-\frac{1}{4}f(0)}{2}+1=2z-\frac{1}{2}f(0)+1$

 

Thay ngược vào ta tìm được $f(0)=\frac{2}{3}$ => $f(z)=2z+\frac{2}{3}$ hay $f(x)=2x+\frac{2}{3}$

 

Vậy $f(x)=2x+\frac{2}{3}$ là hàm cần tìm :D ( quá đơn giản )


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh