Bài toán 34 : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(\frac{x-3}{x+1})+f(\frac{3+x}{1-x})=x$
Bài giải :
- Đặt $\frac{x-3}{x+1}=\frac{3+u}{1-u}=>x=\frac{u-3}{u+1}$
=> $\frac{3+x}{1-x}=\frac{3+\frac{u-3}{u+1}}{1-\frac{u-3}{u+1}}=u$ (1)
Suy ra: $f(\frac{3+u}{1-u})+f(u)=\frac{u-3}{u+1}$
=>$f(\frac{3+x}{1-x})+f(x)=\frac{x-3}{x+1}$(2)
- Đặt $\frac{3+x}{1-x}=v => x=\frac{v-3}{v+1}$
=> $f(v)+f(\frac{v-3}{v+1})=\frac{\frac{v-3}{v+1}-3}{\frac{v-3}{v+1}+1}=\frac{v+3}{1-v}$
=>$f(x)+f(\frac{x-3}{x+1})=\frac{x+3}{1-x}(3)$
- Lấy (2) cộng (3) rồi trừ (1), vế theo vế, ta được:
$2f(x)=\frac{x-3}{x+1}+\frac{x+3}{1-x}-x$ <=> $f(x)=\frac{x^{3}+7x}{2(x+1)(1-x)}$
* Thử lại thấy đúng
$\boxed{KL}$ $f(x)=\frac{x^{3}+7x}{2(x+1)(1-x)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 29-05-2013 - 19:31