Đến nội dung


Hình ảnh

$f(2n+1)=f(2n)+1$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 29-05-2013 - 21:04

Bài toán 35 : Tìm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa :

 

$i)f(1)=1$

 

$ii) f(2n+1)=f(2n)+1$

 

$iii)f(2n)=3f(n)$

 

Giải : 

 

Từ $ii)$ và $iii)$ ta thấy $f(2n)=3f(n)$ và $f(2n+1)=3f(n)+1$

Nên $n\equiv 0\pmod{2}\Rightarrow f(n)\equiv 0\pmod{3}$ và $n\equiv 1\pmod{2}\Rightarrow f(n)\equiv 1\pmod{3}$ $(*)$

Cho $n=\left (\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0} \right )_2$ ( $a_i \in \left \{ 0;1 \right \}$ và $a_n=1$ )

Và $f(n)=\left (\overline{b_mb_{m-1}b_{m-2}...b_1b_0} \right )_3$ ( $b_i\in \left \{ 0;1;2 \right \}$ và $b_n=1$ )

Ta có $\left (\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_{i+1}a_i} \right )_2=2 \cdot \left (\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_{i+1}} \right )_2 +a_i$

Và $\left (\overline{b_mb_{m-1}b_{m-2}...b_{i+1}b_i} \right )_3=3 \cdot \left (\overline{b_mb_{m-1}b_{m-2}...b_{i+1}} \right )_3 +b_i$

Chứng minh theo qui nạp ta chứng minh được $a_i=b_i$ (theo $(*)$) và chứng minh được $m=n$ (do $f(1)=1$)

Vậy nên ta xác lập hàm $f$ bằng cách:

Chuyển $n=\left (\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0} \right )_2$ thì $f(n)=\left (\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0} \right )_3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 21-06-2013 - 10:47

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Dialga Palkia

Dialga Palkia

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 30-05-2013 - 15:13

Bài toán 35 : Tìm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa :

 

$i)f(1)=1$

 

$ii) f(2n+1)=f(2n)+1$

 

$iii)f(2n)=3f(n)$

Từ $ii)$ và $iii)$ ta thấy $f(2n)=3f(n)$ và $f(2n+1)=3f(n)+1$

Nên $n\equiv 0\pmod{2}\Rightarrow f(n)\equiv 0\pmod{3}$ và $n\equiv 1\pmod{2}\Rightarrow f(n)\equiv 1\pmod{3}$ $(*)$

Cho $n=\left (\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0} \right )_2$ ( $a_i \in \left \{ 0;1 \right \}$ và $a_n=1$ )

Và $f(n)=\left (\overline{b_mb_{m-1}b_{m-2}...b_1b_0} \right )_3$ ( $b_i\in \left \{ 0;1;2 \right \}$ và $b_n=1$ )

Ta có $\left (\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_{i+1}a_i} \right )_2=2 \cdot \left (\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_{i+1}} \right )_2 +a_i$

Và $\left (\overline{b_mb_{m-1}b_{m-2}...b_{i+1}b_i} \right )_3=3 \cdot \left (\overline{b_mb_{m-1}b_{m-2}...b_{i+1}} \right )_3 +b_i$

Chứng minh theo qui nạp ta chứng minh được $a_i=b_i$ (theo $(*)$) và chứng minh được $m=n$ (do $f(1)=1$)

Vậy nên ta xác lập hàm $f$ bằng cách:

Chuyển $n=\left (\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0} \right )_2$ thì $f(n)=\left (\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0} \right )_3$ :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dialga Palkia: 30-05-2013 - 17:14






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh