Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x)+f(y)+2xyf(xy)=\frac{f(xy)}{f(x+y)}$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 29-05-2013 - 21:08

Bài toán 36 : Tìm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa $f(x)+f(y)+2xyf(xy)=\frac{f(xy)}{f(x+y)}$


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Dialga Palkia

Dialga Palkia

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 31-05-2013 - 08:23

Bài toán 36 : Tìm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa $f(x)+f(y)+2xyf(xy)=\frac{f(xy)}{f(x+y)}$

Cho $P(x;y):f(x)+f(y)+2xyf(xy)=\frac{f(xy)}{f(x+y)}$

$P(1;1)\Rightarrow 4f(1)=\frac{f(1)}{f(2)}\Rightarrow f(2)=\frac{1}{4}$

$P(2;2)\Rightarrow 2f(2)+8f(4)=1\Rightarrow f(4)=\frac{1}{16}$

$P(1;2)\Rightarrow f(1)+f(2)+4f(2)=\frac{f(2)}{f(3)}\Rightarrow f(1)+\frac{5}{4}=\frac{1}{4f(3)}$ $(1)$

$P(1;3)\Rightarrow f(1)+f(3)+6f(3)=\frac{f(3)}{f(4)}\Rightarrow f(1)=9f(3)$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow f(1)=1$ và $f(3)=\frac{1}{9}$

$P(1;x)\Rightarrow f(1)+f(x)+2xf(x)=\frac{f(x)}{f(x+1)}\Rightarrow \frac{1}{f(x)}+2x+1=\frac{1}{f(x+1)}$

Bằng qui nạp chứng minh được $\frac{1}{f(x)}+2xn+n^2=\frac{1}{f(x+n)},n\in \mathbb{N}$

Thay $x=1$ từ đó chứng minh được $f(x)=\frac{1}{x^2},x\in \mathbb{N^*}$

$P(n;x)\Rightarrow f(n)+f(x)+2nxf(nx)=\frac{f(nx)}{f(x+n)}$ với $n\in \mathbb{N^*}$

$\Rightarrow \frac{1}{n^2}+f(x)+2nxf(nx)=f(nx)(\frac{1}{f(x)}+2nx+n^2) \Rightarrow f(x)=n^2f(nx)$

Ta có $f(\frac{m}{n})=n^2f(m)=\frac{n^2}{m^2}f(1)=\frac{n^2}{m^2}$ với $m,n\in \mathbb{N^*}$

Từ đó chứng minh được $f(x)=\frac{1}{x^2}$ với $x\in \mathbb{Q^+}$

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\frac{1}{x^2}$ :))







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh