Đến nội dung


Hình ảnh

$f(f(n))=n+4$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 31-05-2013 - 12:09

Bài toán 37: Có bao nhiêu hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa $f(f(n))=n+4$.

 

Giải :

 

Lời giải cho phần tiếp theo (đã nghĩ ra):ta xét các số n có dạng 4t+r (trong đó r có thể là 0,1,2,3 và t là số tự nhiên). Khi đó $f(n)=f(4t+r)=f(r)+4t$. Rõ ràng tất cả các giá trị của hàm số đều được tính theo giá trị của f(r) (Chỉ cần xử 4 giá trị f(0),f(1),f(2),f(3) là xong). Bây giờ ta xét tập A={0;1;2;3} có 4 phần tử. Với mọi r thuộc vào tập A thì f(r)=s+4t với t là số tự nhiên, còn s là một giá trị của hàm f tại một số r duy nhất (hay s là duy nhất). Ta có $f(r)=s+4t$ suy ra $f(f(r))=f(s+4t)=f(s)+4t$ hay là $r+4=f(s)+4t$. Ta thấy rằng với mọi số tự nhiên t không nhỏ hơn 2 thì $r=f(s)+4(t-1)\geq f(s)+4\geq 4$, đó là điều vô lí. Vậy chỉ có hai khả năng xảy ra:

1) k=0. Khi đó $f(r)=s, f(s)=r+4$.

2) k=1. Khi đó $f(r)=s+4, f(s)=r$.

Ta thấy rằng f(r) khác so với f(s) thì r sẽ khác s (do ta vừa chứng minh hàm f đơn ánh).

Ta có thể khẳng định tập A được chia thành các cặp (r;s) với $f(r)=s, f(s)=r+4$ hoặc $f(r)=s+4, f(s)=r$. Bây giờ ta sẽ đi dựng xây các hàm f thỏa đề bài. Ta chia tập A thành 2 cặp (r;s) tương ứng khác nhau lấy từ 4 phần tử trong tập A (giao của hai tập con là rỗng và các phần tử trong mỗi tập con đôi một khác nhau) là $(a_{1};b_{1});(a_{2};b_{2})$ sao cho giá trị của hàm f xác định như sau:$f(a_{i})=b_{i}, f(b_{i})=a_{i}+4$. Ta chứng minh hàm f thỏa mãn điều kiện bài toán.

Lấy số tự nhiên n tùy ý, khi đó tồn tại duy nhất r và t sao cho $n=r+4t$ ( r thuộc tập A và t là số tự nhiên).

Nếu $r=a_{i}$ ( với i có thể là 1 hoặc 2) thì ta có $f(n)=f(a_{i}+4t)=f(a_{i})+4t=b_{i}+4t$ cho nên $f(f(n))=f(b_{i}+4t)=f(b_{i})+4t=a_{i}+4+4t=n+4$.

Nếu $r=b_{i}$ thì cũng lặp luận tương tự ta suy ra hệ thức đề bài. Do đó tất cả hàm f được xây dựng như trên thỏa đề bài.

Chia tập A thành 2 cặp (0;3) và (2;1) thì hàm f được xác định như sau: $f(0)=3; f(3)=4; f(2)=1; f(1)=6$.

Khi đó hàm được xác định như sau:

n=4t thì $f(n)=f(0)+4t=4t+3=n+3$.

n=4t+1 làm tương tự được $f(n)=n+5$

n=4t+2 thì $f(n)=n-1$.

n=4t+3 thì $f(n)=n+1$.

Nếu chia thành 2 cặp (0;3) và (1;2) thì làm tương tự ta cũng được các hàm thỏa mãn (lưu ý còn nhiều trường hợp lắm, làm thử xem. Hình như đúng là có 12 hàm thỏa mãn(mặc dù chưa thử)). Tóm lại bài toán đã được giải quyết trọn vẹn. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 08-06-2013 - 12:34

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 31-05-2013 - 16:44

Hình như có vô số hàm f như vậy :f(x)=x+a (với a là một số tự nhiên bất kì) (Cái này đoán đại thôi hé ông anh)


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#3 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 31-05-2013 - 17:13

Hình như có vô số hàm f như vậy :f(x)=x+a (với a là một số tự nhiên bất kì) (Cái này đoán đại thôi hé ông anh)

 

Nếu đoán 1 hàm thì hàm đó là $f(n)=n+2$, nhưng bài này thì không phải là xậy dựng 1 hàm.

 

Bài này khá khó nên mình cho kết quả cho mọi người dể làm hơn: Có tổng cộng 12 hàm thỏa đề.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 31-05-2013 - 17:14

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#4 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 31-05-2013 - 19:16

Trước hết ta sẽ chứng minh hàm trên đơn ánh (tự xử được).Thay n bởi f(n) vào ta suy ra f(n+4)=f(n)+4. Chứng minh bằng quy nạp bằng cách để n cố định ta được f(n+4k)=f(n)+4k với k là số tự nhiên.Phần sau chưa nghĩ ra.


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#5 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 01-06-2013 - 11:31

Trước hết ta sẽ chứng minh hàm trên đơn ánh (tự xử được).Thay n bởi f(n) vào ta suy ra f(n+4)=f(n)+4. Chứng minh bằng quy nạp bằng cách để n cố định ta được f(n+4k)=f(n)+4k với k là số tự nhiên.Phần sau chưa nghĩ ra.

 

Nếu đoán 1 hàm thì hàm đó là $f(n)=n+2$, nhưng bài này thì không phải là xậy dựng 1 hàm.

 

Bài này khá khó nên mình cho kết quả cho mọi người dể làm hơn: Có tổng cộng 12 hàm thỏa đề.

 

Lời giải cho phần tiếp theo (đã nghĩ ra):ta xét các số n có dạng 4t+r (trong đó r có thể là 0,1,2,3 và t là số tự nhiên). Khi đó $f(n)=f(4t+r)=f(r)+4t$. Rõ ràng tất cả các giá trị của hàm số đều được tính theo giá trị của f(r) (Chỉ cần xử 4 giá trị f(0),f(1),f(2),f(3) là xong). Bây giờ ta xét tập A={0;1;2;3} có 4 phần tử. Với mọi r thuộc vào tập A thì f(r)=s+4t với t là số tự nhiên, còn s là một giá trị của hàm f tại một số r duy nhất (hay s là duy nhất). Ta có $f(r)=s+4t$ suy ra $f(f(r))=f(s+4t)=f(s)+4t$ hay là $r+4=f(s)+4t$. Ta thấy rằng với mọi số tự nhiên t không nhỏ hơn 2 thì $r=f(s)+4(t-1)\geq f(s)+4\geq 4$, đó là điều vô lí. Vậy chỉ có hai khả năng xảy ra:

1) k=0. Khi đó $f(r)=s, f(s)=r+4$.

2) k=1. Khi đó $f(r)=s+4, f(s)=r$.

Ta thấy rằng f(r) khác so với f(s) thì r sẽ khác s (do ta vừa chứng minh hàm f đơn ánh).

Ta có thể khẳng định tập A được chia thành các cặp (r;s) với $f(r)=s, f(s)=r+4$ hoặc $f(r)=s+4, f(s)=r$. Bây giờ ta sẽ đi dựng xây các hàm f thỏa đề bài. Ta chia tập A thành 2 cặp (r;s) tương ứng khác nhau lấy từ 4 phần tử trong tập A (giao của hai tập con là rỗng và các phần tử trong mỗi tập con đôi một khác nhau) là $(a_{1};b_{1});(a_{2};b_{2})$ sao cho giá trị của hàm f xác định như sau:$f(a_{i})=b_{i}, f(b_{i})=a_{i}+4$. Ta chứng minh hàm f thỏa mãn điều kiện bài toán.

Lấy số tự nhiên n tùy ý, khi đó tồn tại duy nhất r và t sao cho $n=r+4t$ ( r thuộc tập A và t là số tự nhiên).

Nếu $r=a_{i}$ ( với i có thể là 1 hoặc 2) thì ta có $f(n)=f(a_{i}+4t)=f(a_{i})+4t=b_{i}+4t$ cho nên $f(f(n))=f(b_{i}+4t)=f(b_{i})+4t=a_{i}+4+4t=n+4$.

Nếu $r=b_{i}$ thì cũng lặp luận tương tự ta suy ra hệ thức đề bài. Do đó tất cả hàm f được xây dựng như trên thỏa đề bài.

Chia tập A thành 2 cặp (0;3) và (2;1) thì hàm f được xác định như sau: $f(0)=3; f(3)=4; f(2)=1; f(1)=6$.

Khi đó hàm được xác định như sau:

n=4t thì $f(n)=f(0)+4t=4t+3=n+3$.

n=4t+1 làm tương tự được $f(n)=n+5$

n=4t+2 thì $f(n)=n-1$.

n=4t+3 thì $f(n)=n+1$.

Nếu chia thành 2 cặp (0;3) và (1;2) thì làm tương tự ta cũng được các hàm thỏa mãn (lưu ý còn nhiều trường hợp lắm, làm thử xem. Hình như đúng là có 12 hàm thỏa mãn(mặc dù chưa thử)). Tóm lại bài toán đã được giải quyết trọn vẹn. 


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#6 Lyer

Lyer

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11T1-THPT chuyên Phan Ngọc Hiển-Thành Phố Cà Mau
  • Sở thích:Nhiều quá....!!!!

Đã gửi 02-06-2013 - 11:27

" Với mọi r thuộc vào tập A thì f®=s+4t với t là số tự nhiên, còn s là một giá trị của hàm f tại một số r duy nhất (hay s là duy nhất) "

   Ko hiểu 



#7 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 02-06-2013 - 20:58

" Với mọi r thuộc vào tập A thì f®=s+4t với t là số tự nhiên, còn s là một giá trị của hàm f tại một số r duy nhất (hay s là duy nhất) "

   Ko hiểu 

Hây, Lyer thân mến, cái thắc mắc này mình xin giải đáp như sau: câu nói trên nếu nói đúng hơn phải là với $r\in A$, khi đó $f(r)=s+4t;t\in\mathbb{N},s\in A$ và S duy nhất. Ta thấy do hàm f đơn ánh nên chuyện đó là hiển nhiên (cười  :icon6:  :luoi: ). Còn nếu muốn hiểu thêm thì lật cuốn hàm số xanh xanh trang 180-181 sẽ hiểu rõ hơn (biết rồi hén).


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#8 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 633 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 30-11-2013 - 18:02

E vừa nghĩ ra bài toán tổng quát:Cho $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn $f(f(n))=n+k$, với $k$ là 1 số tự nhiên cho trước

Nếu $k$ chẵn thì số hàm thỏa mãn đề bài là $\frac{k!}{(k/2)!}$

Nếu $k$ lẻ thì không tồn tại hàm thỏa mãn đề bài


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 01-12-2013 - 08:57

$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh