Đến nội dung


Hình ảnh

$f(g(x)+y)=g(f(y)+x)$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 31-05-2013 - 12:14

Bài toán 38: Tìm $f,g:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa $f(g(x)+y)=g(f(y)+x)$, $g$ đơn ánh.

 

Giải :

 

Hình như có điều kiện hàm đơn ánh nữa phải ko đại ca nam, e giải cho coi:

Thay y bởi $g(y)$ ta có $f(g(x)+g(y))=g(f(g(y))+x)$. Do vai trò bình đẳng của x;y nên ta cũng có $f(g(x)+g(y))=g(f(g(x))+y)$. Do g là đơn ánh nên $f(g(y))+x=f(g(x))+y$. Từ đó suy ra $f(g(x))-x=f(g(y))-y=a$ (a là hằng số). Từ đó:

$a+x=f(g(x))=f(g(x)+0)=g(f(0)+x) hay g(x)=x+a-f(0)$.

Vì thế nên $a+x=f(g(x))=f(x+a-f(0)) hay f(x)=x+f(0)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 14-06-2013 - 15:02

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 31-05-2013 - 19:11

Bài toán 38: Tìm $f,g:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa $f(g(x)+y)=g(f(y)+x)$

 

Hình như có điều kiện hàm đơn ánh nữa phải ko đại ca nam, e giải cho coi:

Thay y bởi $g(y)$ ta có $f(g(x)+g(y))=g(f(g(y))+x)$. Do vai trò bình đẳng của x;y nên ta cũng có $f(g(x)+g(y))=g(f(g(x))+y)$. Do g là đơn ánh nên $f(g(y))+x=f(g(x))+y$. Từ đó suy ra $f(g(x))-x=f(g(y))-y=a$ (a là hằng số). Từ đó:

$a+x=f(g(x))=f(g(x)+0)=g(f(0)+x) hay g(x)=x+a-f(0)$.

Vì thế nên $a+x=f(g(x))=f(x+a-f(0)) hay f(x)=x+f(0)$.

Tới đây xong ngay.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 14-06-2013 - 14:56

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh