Bài toán 38: Tìm $f,g:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa $f(g(x)+y)=g(f(y)+x)$, $g$ đơn ánh.
Giải :
Hình như có điều kiện hàm đơn ánh nữa phải ko đại ca nam, e giải cho coi:
Thay y bởi $g(y)$ ta có $f(g(x)+g(y))=g(f(g(y))+x)$. Do vai trò bình đẳng của x;y nên ta cũng có $f(g(x)+g(y))=g(f(g(x))+y)$. Do g là đơn ánh nên $f(g(y))+x=f(g(x))+y$. Từ đó suy ra $f(g(x))-x=f(g(y))-y=a$ (a là hằng số). Từ đó:
$a+x=f(g(x))=f(g(x)+0)=g(f(0)+x) hay g(x)=x+a-f(0)$.
Vì thế nên $a+x=f(g(x))=f(x+a-f(0)) hay f(x)=x+f(0)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 14-06-2013 - 15:02