Bài toán 1: cho ba số thực dương
a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số thực dương sao cho
b) Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh bất đẳng thức
Bài 1 VMEO II
Bắt đầu bởi MrMATH, 01-01-2006 - 20:01
#1
Đã gửi 01-01-2006 - 20:01
Bài toán này do MrMATH sáng tác và được anh Hatucdao biến thể
#2
Đã gửi 03-01-2006 - 15:32
bài này có 2 cách giải ,một là dùng cối có hệ số,hai là dùng đạo hàm
trách nhiệm và nghĩa vụ luôn đi đôi với tài năng.Càng tài năng thì trách nhiệm và nghĩa vụ với xã hội càng phải cao.
#3
Đã gửi 04-01-2006 - 10:56
Mình có 2 mở rộng:
Bài 1 Cho . Xét . Tìm min của
Bài 2 Cho là 3 cạnh tam giác.Biết
. Tìm min của
Bài 1 Cho . Xét . Tìm min của
Bài 2 Cho là 3 cạnh tam giác.Biết
. Tìm min của
#4
Đã gửi 04-01-2006 - 16:20
Bài của nthd rất ngộ, ko biết có cách đơn giản giải quyết bài đó ko nhỉ (tức là cũng chỉ dùng Cauchy thôi đó). Bài tổng quát của bài toán 2 nthd chưa đưa ra kết quả cuối, nhưng nếu các bạn giải được bài toán riêng thì chắc lẽ đạt tới kết quả ko quá khó khăn.
Về bài toán của mình, lúc đâu mình phát biểu nó thế này, các bạn xem thử
Chú ý là ko có dấu bằng nhé, các bạn thử giải quyết bài này xem sao
Về bài toán của mình, lúc đâu mình phát biểu nó thế này, các bạn xem thử
Bài toán gốc: cho và . Chứng minh bất đẳng thức
Chú ý là ko có dấu bằng nhé, các bạn thử giải quyết bài này xem sao
#5
Đã gửi 08-01-2006 - 16:11
[quote name='nthd' date='Jan 4 2006, 10:56 AM']Mình có 2 mở rộng:
Bài 1 Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large\dfrac{a_1}{a_1+d}+\dfrac{a_2}{a_2+d}+\ldots+\dfrac{a_n}{a_n+d}=1
Từ đó đặt
Suy ra
Áp dụng BĐT Cauchy mở rộng:
Suy ra
Mặt khác
(**)
Từ và (**) suy ra
Bài 1 Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Large\dfrac{a_1}{a_1+d}+\dfrac{a_2}{a_2+d}+\ldots+\dfrac{a_n}{a_n+d}=1
Từ đó đặt
Suy ra
Áp dụng BĐT Cauchy mở rộng:
Suy ra
Mặt khác
(**)
Từ và (**) suy ra
#6
Đã gửi 17-01-2006 - 17:25
Bài của nthd rất ngộ, ko biết có cách đơn giản giải quyết bài đó ko nhỉ (tức là cũng chỉ dùng Cauchy thôi đó). Bài tổng quát của bài toán 2 nthd chưa đưa ra kết quả cuối, nhưng nếu các bạn giải được bài toán riêng thì chắc lẽ đạt tới kết quả ko quá khó khăn.
Về bài toán của mình, lúc đâu mình phát biểu nó thế này, các bạn xem thửBài toán gốc: cho và . Chứng minh bất đẳng thức
Chú ý là ko có dấu bằng nhé, các bạn thử giải quyết bài này xem sao
Bài toán ban đầu là cho các hằng số dương a,b,c và các biến số dương x,y,z thỏa mãn: ax+by+cz=xyz. Tìm GTNN của biểu thức S=x+y+z.
Trong cách phát biểu ở trên, bài 1 đã được ìcơ cấu” lại để gợi ý cho các bạn một cách giải bài toán này. Tuy nhiên, vấn đề chỉ ìtạm trọn vẹn” khi ta tìm được d tường minh theo a,b,c.
Bài toán của Khánh được đặt ra cũng do biểu thức của d hơi rắt rối. Tuy nhiên, tính cụ thể cũng ko quá khó, bạn thử xem?
Hoa đào năm ngoái đừng cười
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau
Vì chưng xa cách nên người nhớ nhau
#7
Đã gửi 26-01-2006 - 12:35
Thực ra, dĩ nhiên bài toán tinh giảm của mình là hệ quả của kết quả đầy đủ được dẫn ra trong đề thi chính thức. Có điều, nếu đi theo con đường đó thì việc từ kết quả bài 1 suy ra hệ quả là khá khó khăn đo, mời các bạn thử xem sao. Ý của anh Hatucao chắc là giải trực tiếp d theo a,b,c rồi trát vào bdt trên cùng, từ đó mà có thể dẫn lại kết quả của mình thì cũng phải gọi là tay khá khỏe đó nhỉ
@clmt: có gì thử ap dụng cách làm của em xem sao nhé
@clmt: có gì thử ap dụng cách làm của em xem sao nhé
#8
Đã gửi 26-01-2006 - 16:09
Nhìn cái bài này lại nhớ đến bác song_ha,bác ấy chuyển về tang thì phải,nhưng cái bài này là một kết quả đẹp.
1728
#9
Đã gửi 26-03-2006 - 20:50
Chào các bạn,
Rất tiếc là dạo này mình quá bận, không giúp gì được cho BTC. Mình có đóng góp 1 chút về bài số 1 của Mr Math, một bài toán có cách phát biểu khá hay.
Các bạn còn nhớ bài Vietnam TST 2001? Bài đấy có thể phát biểu lại như sau
Cho là các số dương thỏa mãn điều kiện
Tìm
Bài này có thể phát biểu tổng quát thế này:
Cho là các số dương thỏa mãn điều kiện
Khi đó
trong đó là nghiệm dương duy nhất của phương trình bậc 3 mà mình quên mất rồi (chắc giống phương trình của Mr Math)
Các hằng số 1, 2, 3.5 được chọn để phương trình bậc 3 đó có nghiệm nguyên --> đáp số đẹp.
Bày này mình mở rộng từ một bài rất đơn giản: Cho . CMR
Nhưng kết quả liên quan đến pt bậc 3 nên không làm gì được. Thế mà Mr Math tìm ra cách phát biểu thật đẹp.
Namdung
Rất tiếc là dạo này mình quá bận, không giúp gì được cho BTC. Mình có đóng góp 1 chút về bài số 1 của Mr Math, một bài toán có cách phát biểu khá hay.
Các bạn còn nhớ bài Vietnam TST 2001? Bài đấy có thể phát biểu lại như sau
Cho là các số dương thỏa mãn điều kiện
Tìm
Bài này có thể phát biểu tổng quát thế này:
Cho là các số dương thỏa mãn điều kiện
Khi đó
trong đó là nghiệm dương duy nhất của phương trình bậc 3 mà mình quên mất rồi (chắc giống phương trình của Mr Math)
Các hằng số 1, 2, 3.5 được chọn để phương trình bậc 3 đó có nghiệm nguyên --> đáp số đẹp.
Bày này mình mở rộng từ một bài rất đơn giản: Cho . CMR
Nhưng kết quả liên quan đến pt bậc 3 nên không làm gì được. Thế mà Mr Math tìm ra cách phát biểu thật đẹp.
Namdung
#10
Đã gửi 27-03-2006 - 07:12
Hi, em biết là thầy rất bận mà, có điều bỏ độ 1h ra thì chắc cũng không quá ... ảnh hưởng thầy nhỉ
Thực ra bài toán này chính là bài toán mà em đã tổng quát từ bài gốc của thầy mà, năm ngoái đề VMEO cũng có 1 bài tương tự (tức là thay hệ số đi đó ạ), bài đó là anh Nam làm, việc chọn hệ số đẹp tương đương với 1 bài toán ... số học khó
Đối với bài toán này theo MM là có 2 cách phát biểu
Cách 1: Bài toán gốc Cho và
Chứng minh bất đẳng thức
Cách 2: VMEOII.Pro1 Cho ba số thực dương
a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số thực dương sao cho
b) Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh bất đẳng thức
Cách phát biểu thứ 2 là của anh Hatucdao, còn cách 1 là của MrMATH. Điều thú vị ở đây là cách 2 mặc dù chặt hơn cách 1 nhưng lại ... dễ chứng minh hơn cách 1, vì sao vậy? Vì rằng do đặc thù của vấn đề đặt ra nên cách 2 có thể sử dụng phương pháp cân bằng hệ số 1 phát ra ngay, còn cách 1 thì có nguồn gốc từ phương pháp nhân tử Lagrange, có sử dụng một chút và thêm 1 đánh giá nho nhỏ thôi, có điều để thực hiện được đánh giá này thì cũng cần tỉnh táo lắm
Cuối cùng là cám ơn thầy rất nhiều, vì thực ra bài toán này nói tóm lại vẫn xuất phát từ ý tưởng của thầy đầu tiên, tức là bài TST VMO 01 đó mà
Thực ra bài toán này chính là bài toán mà em đã tổng quát từ bài gốc của thầy mà, năm ngoái đề VMEO cũng có 1 bài tương tự (tức là thay hệ số đi đó ạ), bài đó là anh Nam làm, việc chọn hệ số đẹp tương đương với 1 bài toán ... số học khó
Đối với bài toán này theo MM là có 2 cách phát biểu
Cách 1: Bài toán gốc Cho và
Chứng minh bất đẳng thức
Cách 2: VMEOII.Pro1 Cho ba số thực dương
a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số thực dương sao cho
b) Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh bất đẳng thức
Cách phát biểu thứ 2 là của anh Hatucdao, còn cách 1 là của MrMATH. Điều thú vị ở đây là cách 2 mặc dù chặt hơn cách 1 nhưng lại ... dễ chứng minh hơn cách 1, vì sao vậy? Vì rằng do đặc thù của vấn đề đặt ra nên cách 2 có thể sử dụng phương pháp cân bằng hệ số 1 phát ra ngay, còn cách 1 thì có nguồn gốc từ phương pháp nhân tử Lagrange, có sử dụng một chút và thêm 1 đánh giá nho nhỏ thôi, có điều để thực hiện được đánh giá này thì cũng cần tỉnh táo lắm
Cuối cùng là cám ơn thầy rất nhiều, vì thực ra bài toán này nói tóm lại vẫn xuất phát từ ý tưởng của thầy đầu tiên, tức là bài TST VMO 01 đó mà
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh