Chủ đề này có 5 trả lời

[MrMATH]

Bài 4 do duantien sáng tác. Hai câu a) và b) do anh Hatucdao thêm vào

Bài toán 4:
a) Cho tam giác $\large ABC$ và 1 điểm $\large I$ nằm trong tam giác. Giả sử $\large \widehat{IBA}>\widehat{ICA}$ và $\large \widehat{IBC}>\widehat{ICB}$. Khi đó nếu ta kéo dài $\large IB,IC$ cắt $\large AC,BC$ ở $\large B$ tương ứng thì $\large BB$

b) Cho tam giác $\large ABC$ có $\large AB<AC$ và phân giác $\large AD$. Khi đó với mọi $\large I,J$ khác nhau cùng thuộc đoạn $\large AD$ ta luôn có $\large \widehat{JBI}>\widehat{JCI} $

c) Cho tam giác $\large ABC$ có $\large AB<AC$ và phân giác $\large AD$. Chọn $\large M,N$ lần lượt thuộc các đoạn $\large CD,BD$ sao cho $\large AD$ là phần giác góc $\large \widehat{MAN}$. Trên đoạn $\large AD $ lấy điểm $\large I $ tùy ý (khác $\large D$). Các đường thẳng $\large BI,CI$ cắt $\large AM,AN$ tại $\large B$ tương ứng. Chứng minh rằng $\large BB$

[anhminh]

Bài toán này nếu bỏ 2 câu a/ và b/ đi thì mới thực sự là thử thách !

[duantien]

Đúng thế! Nếu bài toán này bỏ đi hai câu a,b đóng vai bổ đề thì thực sự là một bài khó.
Ngoài cách giải bài toán 4 bằng hai câu a,b chúng ta còn có thể giải theo hai bổ đề sau:
BĐ1: Trong tam giác $ABC$ có $AB<AC$. Trung tuyến $AM$, phân giác $AD$. Một điểm $I$ nằm trong tam giác $AMD$ ( khồng nằm trên đoạn $MD$). $E,F$. thì $BE<CF$
BĐ2: Cho tam giác $ABC$ có $AC>AB$. Điểm $J$ nằm trên phân giác $AD$. khi đó ta luôn có $CJ>BJ$và $\widehat{ABJ} > \widehat{ACJ}$
BD1 đã từng được thảo luận trên diễn đàn cũ, nó có một số lời giải, các bạn có thể tìm thấy một lời giải ở đây.Lời giải.Ngoài ra nếu thay đường trung tuyến bởi đường đối trung thì BD1 vẫn đúng . Còn BĐ2 là một bài toán quen thuộc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 18-10-2012 - 09:40
$\LaTeX$

[MrMATH]

Link của 3T die rồi, hình như dữ liệu của họ đang có vấn đề







bây giờ vào được rồi đấy ạ
duantien

[Hatucdao]

Đúng thế! Nếu bài toán này bỏ đi hai câu a,b đóng vai bổ đề thì thực sự là một bài khó.

Đúng vậy!

Đây là một mở rộng của bài toán Steiner-Leimus (nếu b<c thì d_b>d_c) .
Với gợi ý của 2 câu a) và b) thì bài toán này trở nên đơn giản, yêu cầu của câu c) chỉ còn là ìphát hiện” ra 3 đường thẳng đồng quy. Tuy nhiên, vẻ đẹp của bài toán vẫn không giảm sút.

Thật ra, câu a) là chính là kết quả dùng để chứng minh bài toán Steiner-Leimus. Bản thân nó đã có một vẻ đẹp độc lập, và hơn thế, nó mở ra một hướng ở rộng bài toán rất tốt.

Các bạn có thể đặt câu hỏi: Tìm tất cả các điểm I nằm trong tam giác ABC sao cho góc IBA > góc ICA và góc IBC>góc ICB ?

Câu hỏi này không khó, và giải quyết được nó các bạn sẽ thu được BD1 của duantien như một hệ quả.

[duantien]

Các bạn có thể đặt câu hỏi: Tìm tất cả các điểm I nằm trong tam giác ABC sao cho góc IBA > góc  ICA và góc IBC>góc ICB ?

Câu hỏi này không khó, và giải quyết được nó các bạn sẽ thu được BD1 của duantien như một hệ quả.

Để tìm quỹ tích tất cả các điểm I nằm trong tam giác ABC sao cho góc IBA > góc ICA và góc IBC>góc ICB chúng ta sẽ tìm quỹ tích nhưng điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho góc MBA bằng góc MCA khi AC>AB. Em chưa làm cụ thể nhưng em nghĩ quỹ tích đó là đường cong bậc hai đi qua A,B và tiếp xúc với phân giác trong góc A tại đỉnh A. Khi đó tam giác AMD sẽ nằm trong quỹ tích của điểm I nên ta dễ suy ra được BD1 của em đã post ở trên.
Nhưng cách này có vẻ bất lực nếu trong bổ đề của em thay trung tuyến bằng đường đối trung