Đến nội dung


Hình ảnh

$f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 01-06-2013 - 12:33

Bài toán 39 : Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)$.CMR hàm $f$ cộng tính.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 01-06-2013 - 12:34

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 02-06-2013 - 10:14

Bài này dễ sao không thấy ai giải vậy ta ?  :closedeyes:


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#3 tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quảng Bình

Đã gửi 02-06-2013 - 11:04

Bài toán 39 : Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)$.CMR hàm $f$ cộng tính.

 

Giải như sau:

Cho $x=y=0$ ta có $f(0)=0$

Cho $y=-x$ ta có $f(x)=-f(-x)$

Cho $y=1$ ta có $f(2x+1)=2.f(x)+f(1)$

Tính $f(2ab+2b+2a+1)$ $\forall a,b\epsilon \mathbb{R}$

$f(2ab+2b+2a+1)=2f(ab+b+a)+f(1)=2f(ab)+2(a)+2f(b)+f(1)$

$f(2ab+2b+2a+1)=f(b(2a+1)+b+2a+1)=f(2ab+b)+f(b)+2f(a)+f(1)$

Từ đó suy ra $f(2ab+b)=2f(ab)+f(b)$

Cho $a=-\frac{1}{2}$ ta có $f(b)=-2f(\frac{-b}{2})=2f(\frac{b}{2})\Rightarrow f(2b)=2f(b)$

Nên $f(2ab+b)=2f(ab)+f(b)=f(2ab)+f(b)$ Hay $f(x)+f(y)=f(x+y)$

 

-----------

 

Có vẻ đúng nhưng dài, mọi nguời tiếp tục tìm hướng giải ngắn hơn nghe ( nhưng vẵn hoan nghê tinh thần giải của tran thanh binh dv class)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 02-06-2013 - 11:44

Hình đã gửi






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh