Bài toán 39 : Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)$.CMR hàm $f$ cộng tính.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 01-06-2013 - 12:34
Bài toán 39 : Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)$.CMR hàm $f$ cộng tính.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 01-06-2013 - 12:34
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Bài này dễ sao không thấy ai giải vậy ta ?
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Bài toán 39 : Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)$.CMR hàm $f$ cộng tính.
Giải như sau:
Cho $x=y=0$ ta có $f(0)=0$
Cho $y=-x$ ta có $f(x)=-f(-x)$
Cho $y=1$ ta có $f(2x+1)=2.f(x)+f(1)$
Tính $f(2ab+2b+2a+1)$ $\forall a,b\epsilon \mathbb{R}$
$f(2ab+2b+2a+1)=2f(ab+b+a)+f(1)=2f(ab)+2(a)+2f(b)+f(1)$
$f(2ab+2b+2a+1)=f(b(2a+1)+b+2a+1)=f(2ab+b)+f(b)+2f(a)+f(1)$
Từ đó suy ra $f(2ab+b)=2f(ab)+f(b)$
Cho $a=-\frac{1}{2}$ ta có $f(b)=-2f(\frac{-b}{2})=2f(\frac{b}{2})\Rightarrow f(2b)=2f(b)$
Nên $f(2ab+b)=2f(ab)+f(b)=f(2ab)+f(b)$ Hay $f(x)+f(y)=f(x+y)$
-----------
Có vẻ đúng nhưng dài, mọi nguời tiếp tục tìm hướng giải ngắn hơn nghe ( nhưng vẵn hoan nghê tinh thần giải của tran thanh binh dv class)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 02-06-2013 - 11:44
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$P_{i+1}(x)=P_1(P_i(x))$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh