Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x^3+y^3)=x^2f(x)+y^2f(y)$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 01-06-2013 - 12:36

Bài toán 40 : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x^3+y^3)=x^2f(x)+y^2f(y)$

 


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Laser Angry Bird

Laser Angry Bird

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Looking to my eyes!!!

Đã gửi 01-06-2013 - 12:40

Bài toán 40 : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x^3+y^3)=x^2f(x)+y^2f(y)$

Có phải đưa về pt hàm Cauchy không ạ?



#3 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 01-06-2013 - 12:44

Có phải đưa về pt hàm Cauchy không ạ?

 

Không cho dữ kiện liên tục, nên không xài được anh Cauchy :D .


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#4 tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quảng Bình

Đã gửi 01-06-2013 - 14:10

Bài toán 40 : Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa : $f(x^3+y^3)=x^2f(x)+y^2f(y)$

Giải như sau:

Cho $x=0$ ta có $f(y^3)=y^2.f(y)$

Cho $y=0$ ta có $f(x^3)=x^2.f(x)$

Từ đó ta có $f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(y^3)$ hay $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $\forall x,y\epsilon \mathbb{R}$

Xét

$f((x+1)^3+(x-1)^3)=f((x+1)^3)+f((x-1)^3)=(x+1)^2f(x+1)+(x-1)^2.f(x-1)=(2x^2+2)f(x)+4x.f(1)$

$f((x+1)^3+(x-1)^3)=f(2x^3+6x)=2f(x^3)+6f(x)=2x^2.f(x)+6f(x)$

 

Từ 2 đẳng thức ta có $f(x)=f(1).x=a.x$

Thử lại ta có $f(x)=x$ thảo mẵn :icon10: :icon10:


Hình đã gửi






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh