Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm min $\sum \dfrac{x-1}{y^2}$

chuyển hệ 2012-2013

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 01-06-2013 - 23:42

$\fbox{Bài toán:}$ Cho $x,y,z>1$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$, tìm GTNN của biểu thức:

 

$$S=\dfrac{x-1}{y^2}+\dfrac{y-1}{z^2}+\dfrac{z-1}{x^2}$$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 01-06-2013 - 23:43

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#2 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 02-06-2013 - 00:21



 

$\fbox{Bài toán:}$ Cho $x,y,z>1$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$, tìm GTNN của biểu thức:

 

$$S=\dfrac{x-1}{y^2}+\dfrac{y-1}{z^2}+\dfrac{z-1}{x^2}$$

 

Từ điều kiện bài toán ta có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})=(a,b,c)\Rightarrow ab+bc+ac=1$

Ta cần tìm min của $P=\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}-(a^2+b^2+c^2)$ với $ab+bc+ac=1$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

 $\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}=\frac{b^3}{ab}+\frac{c^3}{bc}+\frac{a^3}{ac} \geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{ab+bc+ac}=(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2$

Lại có $(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2=a^3+b^3+c^3+2(ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ac\sqrt{ac})$

Với $ab+bc+ac=1$, ta dễ dàng chứng minh được $2(ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ac\sqrt{ac}) \geq \frac{2}{\sqrt{3}}$

Do đó $P \geq a^3+b^3+c^3+\frac{2}{\sqrt{3}}-(a^2+b^2+c^2)$

   $\Rightarrow P \geq a^3+b^3+c^3+\frac{2}{\sqrt{3}}-\left [ (a+b+c)^2-2 \right ]$

   $\Rightarrow Q=P -(\frac{2}{\sqrt{3}}+2)\geq a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^2$

Đặt $\left\{\begin{matrix} p=a+b+c\\q=ab+bc+ac=1 \\r=abc \end{matrix}\right.$, ta cần tìm Min $Q$

Ta có $Q=a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^2=p^3-3p+3r-p^2$

Áp dụng bđt Schur ta có $r \geq \frac{4pq-p^3}{9}\Rightarrow 3r \geq \frac{4p-p^3}{3}$

Do đó $Q \geq \frac{2p^3}{3}-p^2-\frac{5p}{3}$

Lại có $p=a+b+c \geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}=\sqrt{3}$

 $\Rightarrow Q \geq f(p)=\frac{2p^3}{3}-p^2-\frac{5p}{3}$

Khảo sát $f(p)$ trên $\left [ \sqrt{3};+\infty \right )$ ta thấy $f(p) \geq f(\sqrt{3})$

Do đó $Q \geq \frac{\sqrt{3}-9}{3}$

 $\Rightarrow P \geq \frac{\sqrt{3}-9}{3}+2+\frac{2}{\sqrt{3}}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 02-06-2013 - 08:52

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh