Chủ đề này có 1 trả lời

[uyenha]

Cho đường tròn (O) tiếp xúc với 2 đường thẳng d1,d2.Một đường tròn (X) tiếp xúc d1 tại A và tiếp xúc ngoài (O) tại C.Đường tròn (Y) tiếp xúc d2 tại B,tiếp xúc ngoài (O) tại D và tiếp xúc ngoài (X) tại E.AD cắt BC tại Q.
CMR Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDE

 

 

[perfectstrong]

Đề đúng phải là: $Q$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$ chứ nhỉ?

Lời giải:

Vẽ $(O)$ tiếp xúc $d_1,d_2$ lần lượt tại $K_1,K_2$. Thế thì $K_1K_2$ là 1 đường kính của $(O)$ và vuông góc với $d_1,d_2$.

Bằng phép vị tự, ta thấy ngay $AB,AK_2,BK_1$ thứ tự đi qua $E,C,D$.

Ta cần sử dụng bổ đề sau:

Cho 4 đường tròn mà mỗi đường tròn tiếp xúc ngoài với 2 đường tròn khác.Chứng minh rằng các tiếp điểm A,B,C,D đồng viên.

Chứng minh:

http://diendantoanho...ng-các-tiếp-đi/

===============================

Quay lại bài toán. Chú ý rằng coi đường thẳng là đường tròn có bán kính vô cùng lớn thì bổ đề trên vẫn đúng khi một số đường tròn suy biến thành đường thẳng.

Áp dụng bổ đề cho $(O),d_1,(X),(Y)$ ta có ngay $K_1,A,E,D$ cùng thuộc đường tròn $(w_1)$.

Suy ra \[
\overline {BA} .\overline {BE}  = \overline {BD} .\overline {BK_1 }  \Rightarrow P_{B/\left( Y \right)}  = P_{B/\left( O \right)}
\]
Cho nên $BC$ là trục đẳng phương của $(X),(O)$. Tương tự $AD$ là trục đẳng phương của $(Y),(O)$. Vì thế $Q$ là tâm đẳng phương của $(O),(X),(Y) \Rightarrow QD=QE=QC \Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 28-12-2013 - 17:25