Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x^n+f(y))=y+(f(x))^n$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 02-06-2013 - 11:38

Bài toán 41: Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x^n+f(y))=y+(f(x))^n$, $n\in \mathbb{N}^*$


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 02-06-2013 - 19:58

Bài toán 41: Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x^n+f(y))=y+(f(x))^n$, $n\in \mathbb{N}^*$

Cho $P(x;y):f(x^n+f(y))=y+(f(x))^n$

$P(0;x)\Rightarrow f(f(y))=y+(f(0))^n$ vậy $f$ song ánh. Nên tồn tại $a$ sao cho $f(a)=0$

$P(a;0)\Rightarrow f(a^n+f(0))=(f(a))^n=0=f(a) \Rightarrow f(0)=a-a^n$ $(1)$

$P(0;a(\Rightarrow f(f(a))=a+(f(0))^n \Rightarrow f(0)=a+(f(0))^n$ $(2)$

$P(a;a)\Rightarrow f(a^n+f(a))=a+(f(a))^n\Rightarrow f(a^n)=a$ $(3)$

Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow (f(0))^n+a^n=0\Rightarrow f(0)=-a$

 Và thêm $(3)\Rightarrow f((-f(0))^n)=f(0)\Rightarrow f(0)=0$

$P(x;0)\Rightarrow f(x^n)=(f(x))^n$ $(4)$

$P(0;y)\Rightarrow f(f(y))=y$ $(5)$

Từ $(4)$ và $(5)\Rightarrow f(x^n+f(f(y))=f(x^n)+f(f(y))$

Hay $f(x+y)=f(x)+f(y)$ (do $f$ song ánh)

Với $n$ chẵn ta có $f(x^n)=(f(x))^n\geq 0$ nên $f(x)\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 0$

Từ đó chứng minh được $f(x)=x$

Với $n$ lẻ thì có lẽ nên dùng $f((x+y)^n)=(f(x+y))^n=(f(x)+f(y))^n$

Trường hợp này khó va dài  ~O)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 02-06-2013 - 19:58

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 23-06-2013 - 09:26

Lời giải bài 41 :icon10: (mong các bác chém nhẹ tay)

Đặt $f(0)=a$

$\Rightarrow f(f(y))=y+a^n$

$\Rightarrow f(f(x^n+f(f(y))))=x^n+f(f(y))+a^n=x^n+y+2a^n$

Lại có $f(f(x^n+f(f(y))))=f(f^n(x)+f(y))=f^n(f(x))+y=(x+a^n)^n+y$

$\Rightarrow x^n+2a^n=(x+a^n)^n$

$\rightarrow a=0$

Hay $f(f(y))=y\rightarrow f(x^n)=f^n(x)$

Do đó $\forall x\in R_0^+,y\in R$ chúng ta có

$f(x+y)=f((\sqrt[n]{x})^n+f(f(y)))=f^n(\sqrt[n]{x})+f(y)=f(x)+f(y)$

Do đó $f(x)$ là hàm Cau chy

$f(x)=bx$ (với $f(1)=b$)

Từ đây tính được $b=b^n,b=b^2$

Do đó

$f(x)=x$ nếu $n$ chẵn

$f(x)=-x$ nếu $n$ lẻ


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#4 nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUS_High School For Gift Students
  • Sở thích:GEOMETRY

Đã gửi 23-06-2013 - 20:14

Lời giải bài 41 :icon10: (mong các bác chém nhẹ tay)

Đặt $f(0)=a$

$\Rightarrow f(f(y))=y+a^n$

$\Rightarrow f(f(x^n+f(f(y))))=x^n+f(f(y))+a^n=x^n+y+2a^n$

Lại có $f(f(x^n+f(f(y))))=f(f^n(x)+f(y))=f^n(f(x))+y=(x+a^n)^n+y$

$\Rightarrow x^n+2a^n=(x+a^n)^n$

$\rightarrow a=0$

Hay $f(f(y))=y\rightarrow f(x^n)=f^n(x)$

Do đó $\forall x\in R_0^+,y\in R$ chúng ta có

$f(x+y)=f((\sqrt[n]{x})^n+f(f(y)))=f^n(\sqrt[n]{x})+f(y)=f(x)+f(y)$

Do đó $f(x)$ là hàm Cau chy

$f(x)=bx$ (với $f(1)=b$)

Từ đây tính được $b=b^n,b=b^2$

Do đó

$f(x)=x$ nếu $n$ chẵn

$f(x)=-x$ nếu $n$ lẻ

Bạn làm sai rồi nhé!!Nếu chưa có tính liên tục thì không sử dụng được phương trình hàm Cauchy!



#5 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 23-06-2013 - 21:52

Thế chắc phải làm thêm $1$ đoạn nữa


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh