Bài toán 41: Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x^n+f(y))=y+(f(x))^n$, $n\in \mathbb{N}^*$
#1
Đã gửi 02-06-2013 - 11:38
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 02-06-2013 - 19:58
Bài toán 41: Tìm hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(x^n+f(y))=y+(f(x))^n$, $n\in \mathbb{N}^*$
Cho $P(x;y):f(x^n+f(y))=y+(f(x))^n$
$P(0;x)\Rightarrow f(f(y))=y+(f(0))^n$ vậy $f$ song ánh. Nên tồn tại $a$ sao cho $f(a)=0$
$P(a;0)\Rightarrow f(a^n+f(0))=(f(a))^n=0=f(a) \Rightarrow f(0)=a-a^n$ $(1)$
$P(0;a(\Rightarrow f(f(a))=a+(f(0))^n \Rightarrow f(0)=a+(f(0))^n$ $(2)$
$P(a;a)\Rightarrow f(a^n+f(a))=a+(f(a))^n\Rightarrow f(a^n)=a$ $(3)$
Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow (f(0))^n+a^n=0\Rightarrow f(0)=-a$
Và thêm $(3)\Rightarrow f((-f(0))^n)=f(0)\Rightarrow f(0)=0$
$P(x;0)\Rightarrow f(x^n)=(f(x))^n$ $(4)$
$P(0;y)\Rightarrow f(f(y))=y$ $(5)$
Từ $(4)$ và $(5)\Rightarrow f(x^n+f(f(y))=f(x^n)+f(f(y))$
Hay $f(x+y)=f(x)+f(y)$ (do $f$ song ánh)
Với $n$ chẵn ta có $f(x^n)=(f(x))^n\geq 0$ nên $f(x)\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 0$
Từ đó chứng minh được $f(x)=x$
Với $n$ lẻ thì có lẽ nên dùng $f((x+y)^n)=(f(x+y))^n=(f(x)+f(y))^n$
Trường hợp này khó va dài
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 02-06-2013 - 19:58
#3
Đã gửi 23-06-2013 - 09:26
Lời giải bài 41 (mong các bác chém nhẹ tay)
Đặt $f(0)=a$
$\Rightarrow f(f(y))=y+a^n$
$\Rightarrow f(f(x^n+f(f(y))))=x^n+f(f(y))+a^n=x^n+y+2a^n$
Lại có $f(f(x^n+f(f(y))))=f(f^n(x)+f(y))=f^n(f(x))+y=(x+a^n)^n+y$
$\Rightarrow x^n+2a^n=(x+a^n)^n$
$\rightarrow a=0$
Hay $f(f(y))=y\rightarrow f(x^n)=f^n(x)$
Do đó $\forall x\in R_0^+,y\in R$ chúng ta có
$f(x+y)=f((\sqrt[n]{x})^n+f(f(y)))=f^n(\sqrt[n]{x})+f(y)=f(x)+f(y)$
Do đó $f(x)$ là hàm Cau chy
$f(x)=bx$ (với $f(1)=b$)
Từ đây tính được $b=b^n,b=b^2$
Do đó
$f(x)=x$ nếu $n$ chẵn
$f(x)=-x$ nếu $n$ lẻ
- hoangkkk, mat troi be nho và amma96 thích
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
#4
Đã gửi 23-06-2013 - 20:14
Lời giải bài 41 (mong các bác chém nhẹ tay)
Đặt $f(0)=a$
$\Rightarrow f(f(y))=y+a^n$
$\Rightarrow f(f(x^n+f(f(y))))=x^n+f(f(y))+a^n=x^n+y+2a^n$
Lại có $f(f(x^n+f(f(y))))=f(f^n(x)+f(y))=f^n(f(x))+y=(x+a^n)^n+y$
$\Rightarrow x^n+2a^n=(x+a^n)^n$
$\rightarrow a=0$
Hay $f(f(y))=y\rightarrow f(x^n)=f^n(x)$
Do đó $\forall x\in R_0^+,y\in R$ chúng ta có
$f(x+y)=f((\sqrt[n]{x})^n+f(f(y)))=f^n(\sqrt[n]{x})+f(y)=f(x)+f(y)$
Do đó $f(x)$ là hàm Cau chy
$f(x)=bx$ (với $f(1)=b$)
Từ đây tính được $b=b^n,b=b^2$
Do đó
$f(x)=x$ nếu $n$ chẵn
$f(x)=-x$ nếu $n$ lẻ
Bạn làm sai rồi nhé!!Nếu chưa có tính liên tục thì không sử dụng được phương trình hàm Cauchy!
- barcavodich yêu thích
#5
Đã gửi 23-06-2013 - 21:52
Thế chắc phải làm thêm $1$ đoạn nữa
- mat troi be nho và amma96 thích
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$P_{i+1}(x)=P_1(P_i(x))$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh