Bài toán 43: Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(y)+\sum_{i=1}^{2007}[(-1)^kC_{2007}^{k}y^{2007-k}(f(x))^k]=f(y-f(x))$
Giải:
Cho $m=2007$. Ta viết lại thành $f(y)-y^m=f(y-f(x))-(y-f(x))^m$
Đặt $g(x)=f(x)-x^m$ ta có $g(y)=g(y-f(x))$
Chứng minh qui nạp được $g(y)=g(y-t \cdot f(x))$ với $t\in \mathbb{Z}$
Và cũng chứng minh được $g(f(x))=g(-f(x))=f(0)=const$
Thay $x,y$ bằng $y-f(x),f(y)$ có $g(f(y))=g(f(y)-f(y-f(x)))=g(y^m-(y-f(x))^m)$
Hay $g(y^m-(y-f(x))^m)=g(0)$
Dễ thấy $f(x)=0$ là một hàm thỏa. Ta tìm hàm khác )
Thay $x$ bằng $a$ sao cho $f(a)\neq 0$
Xét $z=y^m-(y-f(a))^m$
Ta thấy $z\in (-\infty;(f(a))^m)$ với $f(a)<0$ hoặc $z\in ((f(a))^m;+\infty)$ với $f(a)>0$ khi $y\in (0;+infty)$
Ta có $g(z)=g(0)$ mà $g(z)=g(z+t \cdot f(a))$ nên $g(x)=g(0)=c$ với $c$ là hằng số.
Kết luận $f(x)=x^m+c$
Mở rộng cho $m$ là số tự nhiên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 07-06-2013 - 07:55
. Hoan nghênh bạn bài giải ra bài này .
