Đến nội dung


Hình ảnh

$f(y)+\sum_{i=1}^{2007}[(-1)C_{2007}^{k}y^{2007-k}(f(x))]=f(y-f(x))$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 03-06-2013 - 17:33

Bài toán 43: Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(y)+\sum_{i=1}^{2007}[(-1)^kC_{2007}^{k}y^{2007-k}(f(x))^k]=f(y-f(x))$

 

Giải:

 

Cho $m=2007$. Ta viết lại thành $f(y)-y^m=f(y-f(x))-(y-f(x))^m$

Đặt $g(x)=f(x)-x^m$ ta có $g(y)=g(y-f(x))$

Chứng minh qui nạp được $g(y)=g(y-t \cdot f(x))$ với $t\in \mathbb{Z}$

Và cũng chứng minh được $g(f(x))=g(-f(x))=f(0)=const$

Thay $x,y$ bằng $y-f(x),f(y)$ có $g(f(y))=g(f(y)-f(y-f(x)))=g(y^m-(y-f(x))^m)$

Hay $g(y^m-(y-f(x))^m)=g(0)$

Dễ thấy $f(x)=0$ là một hàm thỏa. Ta tìm hàm khác )

Thay $x$ bằng $a$ sao cho $f(a)\neq 0$

Xét $z=y^m-(y-f(a))^m$

Ta thấy $z\in (-\infty;(f(a))^m)$ với $f(a)<0$ hoặc $z\in ((f(a))^m;+\infty)$ với $f(a)>0$ khi $y\in (0;+infty)$

Ta có $g(z)=g(0)$ mà $g(z)=g(z+t \cdot f(a))$ nên $g(x)=g(0)=c$ với $c$ là hằng số.

Kết luận $f(x)=x^m+c$

Mở rộng cho $m$ là số tự nhiên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 07-06-2013 - 07:55

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 04-06-2013 - 17:01

Bài này nhìn đề hơi loại, nhưng thật ra chỉ cần tính cái tổng là gần xong rùi :D . Hoan nghênh bạn bài giải ra bài này .

@Idie9xx: Nếu đề là thế này thì không khó :)

 

Bài toán 43: Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(y)+\sum_{i=1}^{2007}[(-1)^kC_{2007}^{k}y^{2007-k}(f(x))^k]=f(y-f(x))$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 05-06-2013 - 19:44

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#3 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 06-06-2013 - 18:35



Bài toán 43: Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $f(y)+\sum_{i=1}^{2007}[(-1)^kC_{2007}^{k}y^{2007-k}(f(x))^k]=f(y-f(x))$

Mình có sửa đề ở trong cái trích dẫn không biết có đúng không . Nhưng cái đề kia hình như thiếu mũ của $(f(x))$ thì phải :icon10:

 

Cho $m=2007$. Ta viết lại thành $f(y)-y^m=f(y-f(x))-(y-f(x))^m$

Đặt $g(x)=f(x)-x^m$ ta có $g(y)=g(y-f(x))$

Chứng minh qui nạp được $g(y)=g(y-t \cdot f(x))$ với $t\in \mathbb{Z}$

Và cũng chứng minh được $g(f(x))=g(-f(x))=f(0)=const$

Thay $x,y$ bằng $y-f(x),f(y)$ có $g(f(y))=g(f(y)-f(y-f(x)))=g(y^m-(y-f(x))^m)$

Hay $g(y^m-(y-f(x))^m)=g(0)$

Dễ thấy $f(x)=0$ là một hàm thỏa. Ta tìm hàm khác )

Thay $x$ bằng $a$ sao cho $f(a)\neq 0$

Xét $z=y^m-(y-f(a))^m$

Ta thấy $z\in (-\infty;(f(a))^m)$ với $f(a)<0$ hoặc $z\in ((f(a))^m;+\infty)$ với $f(a)>0$ khi $y\in (0;+infty)$

Ta có $g(z)=g(0)$ mà $g(z)=g(z+t \cdot f(a))$ nên $g(x)=g(0)=c$ với $c$ là hằng số.

Kết luận $f(x)=x^m+c$ >:)

Mở rộng cho $m$ là số tự nhiên :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 07-06-2013 - 07:55

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#4 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 07-06-2013 - 07:56

Idie9xx giải chuẩn, sửa đề cũng chuẩn  :D .


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh