Đề tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán PTNK 2013 - 2014
#1
Đã gửi 05-06-2013 - 12:49
- Ispectorgadget, Yagami Raito, vutuanhien và 10 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 05-06-2013 - 13:04
Câu IV:
Cho $M=a^2+3a+1$ với $a$ là số nguyên dương.a) Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.b) Tìm $a$ sao cho $M$ chia hết cho 5. Với những giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của 5.
Lời giải. a) Câu này tương đương với chứng minh $M$ lẻ, không khó lắm.
b) Xét trường hợp $a=5k+r$ với $k,r \in \mathbb{N}, \; 0 \le r \le 4$ để tìm $a$ thỏa mãn $5|M$.
Ở ý còn lại thì ta đặt $M= 5^m$ với $m \in \mathbb{N}$. Khi đó $$4M= (2a+3)^2-5=4 \cdot 5^m \Rightarrow (2a+3)^2 = 5 \cdot \left( 4 \cdot 5^{m-1}+1 \right)$$
Ta thấy $5|(2a+3)^2 \Rightarrow 25|(2a+3)^2$. Do đó $5| 4 \cdot 5^{m-1}+1$. Ta suy ra $m=1$.
Khi đó ta có $a=1$.
- Yagami Raito, BlackSelena, phathuy và 4 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 05-06-2013 - 13:06
PTNK ở đâu vậy Jinbe ?
@Jinbe: PTNK ở TPHCM đó bạn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 05-06-2013 - 13:12
Tác giả :
Lương Đức Nghĩa
#4
Đã gửi 05-06-2013 - 13:52
Câu II:Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}3x^2+2y+1=2z(x+2)\\3y^2+2z+1=2x(y+2)\\3z^2+2x+1=2y(z+2)\end{cases}$$
Cộng vế theo vế các pt trong hệ được: $3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3=2z(x+1)+2x(y+1)+2y(z+1)$
$\Rightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=0\Leftrightarrow x=y=z=1$
Thử lại, thoả.
Vậy pt có nghiệm x=y=z=1.
- DarkBlood, phathuy, Juliel và 4 người khác yêu thích
ONG NGỰA 97.
#5
Đã gửi 05-06-2013 - 15:01
Mình mới thi sáng nay xong.Đề NK có vẻ dễ hơn năm ngoái.Nhưng mà trình bày bài 3,4 dài dòng quá(lại không chặt chẽ lắm) nên còn bài 6b,với bài hình b,c(nghe nói đề hình dễ T T).
Bài 6a mình làm vầy:
Giả sử không có bài toán nào mà mọi thí sinh đều làm được và gọi bài toán mà mọi thí sinh đều "bí" là bài A.Khi đó,ta xét 2 TH:
TH1:Không có học sinh nào làm được 2 bài:
Nếu có 2 học sinh nào đó làm được bài B thì các học sinh còn lại cũng đều làm được bài B do cứ hai Hs bất kì luôn có ít nhất 1 bài mà 2 hs đó làm được=>điều gs sai
TH2:Tồn tại N học sinh làm được 2 bài.Dễ thấy N<60 do điều gs
Khi đó xét các hs làm được 1 bài còn lại.CMTT th1=>các hs này đều làm được 1 bài toán=>Kết hợp với các hs làm được 2 bài=>điều gs sai
Vậy:Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được. (Hơi lôi thôi)
Bài 1 hình như hơi dễ(không biết có gài ở đâu không).
1/b $\mathbf{m}=\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Raiser1998: 05-06-2013 - 15:08
- shinichigl và lenin1999 thích
#6
Đã gửi 05-06-2013 - 15:09
Câu III:
Cho $x,y$ là hai số không âm thỏa mãn $x^3+y^3 \le x-y$.a) Chứng minh rằng: $y\le x \le 1$.b) Chứng minh rằng: $x^3+y^3 \le x^2+y^2 \le 1$.
Đề nắm nay hình như dễ hơn 2 nắm trước
a) Giả sử $x>1\Rightarrow x^{3}>x\Rightarrow x-x^{3}<0\Rightarrow y^{3}+y<0$ (vô li vì $y\geq 0$)
$x-y\geq x^{3}+y^{3}\geq 0\Rightarrow x\geq y$
Ta co đpcm
b) $x-y\geq x^{3}+y^{3}\geq x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})\Rightarrow x^{2}+y^{2}+xy\leq 1\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 1$
Theo cmt thì $y\leq x\leq 1\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$
Ta co đpcm
- davildark, DarkBlood, phathuy và 4 người khác yêu thích
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
#7
Đã gửi 05-06-2013 - 15:47
$a) \bigtriangleup = (3m-1)(m+1))>0\Leftrightarrow m<-1\vee m>\frac{1}{3}$
$x_{1}x_{2}=(m-1)^{2}\geq 0 \forall m$
Câu 1b :
$\left |\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}} \right |=1\Leftrightarrow S-2\sqrt{P}=1\Leftrightarrow 4m-2\left | m-1 \right |=1\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$
Giải bài hình . Các bạn ơi !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 05-06-2013 - 17:45
- shinichigl và lenin1999 thích
#8
Đã gửi 05-06-2013 - 16:21
Bài hình câu a,b với 1/2 câu c khá dễ. Ý cực trị hình học còn lại thì có thể đại số trâu bò ra, k0 biết còn cách khác ko :-?
- vutuanhien, phathuy và pham duc quang thích
#9
Đã gửi 05-06-2013 - 17:23
Đề nắm nay hình như dễ hơn 2 nắm trước
a) Giả sử $x>1\Rightarrow x^{3}>x\Rightarrow x-x^{3}<0\Rightarrow y^{3}+y<0$ (vô li vì $y\geq 0$)
$x-y\geq x^{3}+y^{3}\geq 0\Rightarrow x\geq y$
Ta co đpcm
b) $x-y\geq x^{3}+y^{3}\geq x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})\Rightarrow x^{2}+y^{2}+xy\leq 1\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq 1$
Theo cmt thì $y\leq x\leq 1\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$
Ta co đpcm
Lời giải rất hay
Câu a OK
Nhưng chỗ bôi đỏ thì tớ nghĩ phải có $x-y\neq 0$ . Chặt hơn là $x-y>0$
b) Nếu $x-y=0$ thì $x^3+y^3\leq x-y=0$ . Mà $x,y$ không âm nên $x=y=0$
Ta có $x^3+y^3=0\leqslant 0=x^2+y^2=0\leq 1$
Chú ý : nói $0\leq 1$ tức là 0 có thể nhỏ hơn 1 HOẶC có thể bằng 1 . ở đây là nhỏ hơn 1
Nếu $x-y>0$ làm tiếp như trên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 05-06-2013 - 17:44
- DarkBlood, phathuy, Juliel và 2 người khác yêu thích
Tác giả :
Lương Đức Nghĩa
#10
Đã gửi 05-06-2013 - 19:04
Chém bài 6 cái đã:
Nhận xét: không có thí sinh nào làm được 0 bài
a) Ta có mọi thí sinh đều làm nhiều nhất 2 bài. Xét 2 TH:
TH1: Tất cả thí sinh đều làm được 2 bài. Suy ra đpcm
TH2: Tồn tại thí sinh $a_1$ làm được 1 bài:
Xét $a_1$ với $a_i$ bất kì (i khác 1) thì 2 thí sinh sẽ làm chung 1 bài nên suy ra đpcm
Vấn đề được giải quyết xong
b) Giả sử không tồn tại bài nào có ít nhất 40 thí sinh làm ra.
Xét 2 trường hợp:
TH1: Tồn tại 1 thí sinh giải 1 bài. Ta chứng minh giống câu a nên loại TH này
TH2: Các thí sinh đều làm được 2 bài trở lên
Gọi tập hợp các thí sinh làm được bài $i$ là $B_i$
Không mất tính tổng quát, giả sử $B_{1}=max$
Ta có $s(B_1)<40$
Suy ra số thí sinh không làm được bài 1 lớn hơn 20
Mà mỗi thí sinh đều làm ít nhất 2 bài
Suy ra các thí sinh này đều làm được bài 2 và 3
Gọi số thí sinh này là $x$
Ta có: $x>20>s(B_1)/2$
Xét tập $B_1$:
Các thí sinh làm được câu 1 phải làm được ít nhất câu 2 hay câu 3
Giả sử số thí sinh làm được câu 2 nhiều hơn số thí sinh làm câu 3
Ta có số thí sinh này là $y>=s(B_1)/2$
Suy ra $s(B_2)=x+y>s(B_1)$ (vô lý vì $B_1$ là max)
Suy ra giả thiết phản chứng sai
Suy ra đpcm
------------------------------------------------------------------------------------------
Tình hình các bạn như thế nào? , còn mình làm...hết
- ninhxa, vutuanhien, DarkBlood và 6 người khác yêu thích
#11
Đã gửi 06-06-2013 - 11:35
Năm sau em mới thi, cho em xin phép giải trước câu I, IIIa ạ ! Các câu II, IIIb, IV có người giải rồi, câu V, VI xin chịu thua ! Các anh chị xem em giải rồi nhận xét dùm ạ !
Câu I :
a) $\Delta = (2m)^{2}-\left ( m^{2}-2m+1 \right )= 4m^{2}-m^{2}+2m-1=3m^{2}+2m-1$
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $$\Delta > 0\Leftrightarrow 3m^{2}+2m+1> 0\Leftrightarrow m< -1 \vee m > \frac{1}{3}$$(*).
Theo Viète, ta có :
$x_{1}+x_{2}=4m ; x_{1}x_{2}=m^{2}-2m+1=(m-1)^{2}\geq 0$
Vậy $x_{1},x_{2}$ không thể trái dấu nhau.
b) $\left | \sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}} \right |=1$ $\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}} \right )^{2}=1\Leftrightarrow x_{1}-2\sqrt{x_{1}x_{2}}+x_{2}=1\Leftrightarrow 4m-2\sqrt{(m-1)^{2}}=1$
Trường hợp 1 :
$4m-2(m-1)=1\Leftrightarrow 2m=-1\Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}$ ( không thỏa mãn điều kiện (*) )
Trường hợp 2 :
$4m-2(1-m)=1\Leftrightarrow 6m=3\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$ ( thỏa điều kiện (*) )
Vậy $m=\frac{1}{2}$ để thỏa mãn đề bài.
Câu II : giống như trên
Cộng vế theo vế các pt trong hệ được: $3(x^{2}+y^{2}+z^{2})+3=2z(x+1)+2x(y+1)+2y(z+1)$
$\Rightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=0\Leftrightarrow x=y=z=1$
Thử lại, thoả.
Vậy pt có nghiệm x=y=z=1.
Câu III : Không có chắc đúng không, hơi dài dòng :
a) Giả sử $x> 1\Leftrightarrow x^{3}> x\Leftrightarrow x-x^{3}< 0\Leftrightarrow y^{3}+y< 0$ (1)
do $x^{3}+y^{3}\leq x-y\Leftrightarrow y^{3}+y\leq x-x^{3}$
(1) vô lí vì $y\geq 0$ ( giả thiết )
Giả sử $x\leq 1\Leftrightarrow x^{3}\leq x\Leftrightarrow x-x^{3}\geq 0\Leftrightarrow y^{3}+y\geqslant 0$
Điều này hiển nhiên đúng. Vậy $x\leq 1$ (2)
Mặt khác $x-y\geq x^{3}+y^{3}\geq 0\Leftrightarrow x\geq y$ (3)
Từ (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenin1999: 06-06-2013 - 12:12
#12
Đã gửi 07-06-2013 - 05:37
Mọi người có đề mặt bằng ko, post lên cho mình tham khảo với
Thứ bảy :8/6 mới thi bạn ạ!
#13
Đã gửi 08-06-2013 - 16:39
Câu 1:
$ \cdot 1$ Giải phương trình
$$\sqrt{3x+1} + \sqrt{2-x} = 3$$
$ \cdot 2$ Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{1}{x}+ y + \dfrac{1}{y} = \dfrac{9}{2}\\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}(x + \dfrac{1}{y}) = xy + \dfrac{1}{xy} \end{matrix}\right.$$
Câu 2:
$ \cdot 1$ Giả dụ $a,b,c$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn đẳng thức $(a+b)(b+c)(c+a) = 8abc$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{a+b} + \dfrac{b}{b+c} + \dfrac{c}{c+a} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{ab}{(a+b)(b+c)} + \dfrac{bc}{(b+c)(c+a)} + \dfrac{ca}{(c+a)(a+b)}$$.
$\cdot 2$ Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số $\overline{abcde}$ sao cho $\overline{abc} - (10d+e)$ chia hết cho $101$ ?
Câu 3:
Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $AB < AC$. Đường phân giác của $\angle BAC$ cắt $(O)$ tại $D \neq A$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ và $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $O$. Giả dụ $(ABM)$ cắt $AC$ tại $F$. CMR:
$1) \triangle BDM \sim \triangle BCF$
$2) EF \perp AC$
Câu 4:
Giả sử $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $abc + bcd + cad + bad = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$P = 4(a^3 + b^3 + c^3) + 9d^3$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 09-06-2013 - 17:53
- namcpnh, daovuquang, minhtuyb và 18 người khác yêu thích
#14
Đã gửi 08-06-2013 - 16:51
Tui giải thế này.Dễ thấy $\overline{abc}-10d-e\leq 909$ và chia hết cho 101 nên có 9 TH.
Xét 1 TH làm VD:
$\overline{abc}-10d-e=101$
Ta thấy mỗi giá trị của d và e đều tìm được 1 số $\overline{abcde}$ tương ứng$\Rightarrow$ TH này sẽ có 100 số thoả mãn(100 số này đều khác nhau).Tương tự 8 TH còn lại,TH cuối thì loại bỏ 9 nghiệm d=9,e=1;d=9,e=2,...d=9,e=99 nên số các số thoả mãn ở TH cuối chỉ là 91 số.Nên tổng các số thoả mãn là 891.
#15
Đã gửi 08-06-2013 - 16:59
bài 2 b
ta có $\overline{abc}-10d-e \epsilon \left \{ 101,202,...909 \right.\left. \right \}$
vói mỗi cách chọn d ta có 9 cách chọn $\overline{abc}$ (ví du d=1 thì $111\leq \overline{abc}\leq 119$) tương ứng có 9 cách chọn $e$
do đó có tất cả 10.9 =90 cách chọn
@@~ mình đi thi viết thiếu trường hợp = 0 rồi
- Đoàn Danh Tú yêu thích
tàn lụi
#16
Đã gửi 08-06-2013 - 16:59
#17
Đã gửi 08-06-2013 - 17:01
bài 2 b
ta có $\overline{abc}-10d-e \epsilon \left \{ 101,202,...909 \right.\left. \right \}$
vói mỗi cách chọn d ta có 9 cách chọn $\overline{abc}$ (ví du d=1 thì $111\leq \overline{abc}\leq 119$) tương ứng có 9 cách chọn $e$
do đó có tất cả 10.9 =90 cách chọn
@@~ mình đi thi viết thiếu trường hợp = 0 rồi
Tui nghĩ là xét theo d,e dễ hơn vì chỉ cần d,e nhận bất kì giá trị nào cũng thoả mãn,trừ mấy cái ở trên ra.
#18
Đã gửi 08-06-2013 - 17:02
abcde chia hết cho 101.tính từ 10100 đến 99990 là 891
nó có bảo tìm abcde chia hết cho 101 đâu
tàn lụi
#19
Đã gửi 08-06-2013 - 17:08
10 TH mà bạn,đó là với mỗi d,còn 10 TH d nữa ko phải 100 ànhưng vói mỗi d thì chỉ có 9 abc và e tương t=ứng thôi
Đặt $x+\frac{1}{y}=a,y+\frac{1}{x}=b\Rightarrow xy+\frac{1}{xy}=ab-2$,còn cả bài này nữa chứ,đang làm thì hết giờ,hôm nay vl thậtthế còn bài 1b mọi ng ra bao nhiêu? cách làm ntn?
#20
Đã gửi 08-06-2013 - 17:12
10 TH mà bạn,đó là với mỗi d,còn 10 TH d nữa ko phải 100 à
uk thì mỗi d có 9 cách chọn suy ra 10 d có 90 cách
ví dụ d=1 thì 111<=abc<=119 trừ đi xong tính ra e như vậy với mỗi d chỉ có 9 bộ abcde thỏi mãn
tàn lụi
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh