Đến nội dung


Hình ảnh

$f(m^2+n^2)=(f(n))^2+(f(m))^2$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 07-06-2013 - 08:37

Bài toán 45 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa :

 

1) $f(1)>0$

 

2 ) $f(m^2+n^2)=(f(n))^2+(f(m))^2$

 

Giải :

 

Từ điều kiện đề bài cho m = n = 0 thì ta suy ra f(0) = 0. Lại thay m = 1 và n = 0 thì ta tính được f(1) = 1. Thay m = n = 1 ta được f(2) = 2. Thay m = 0 ta được $f(n^{2})=(f(n))^{2}$. Khi đó ta tính được f(4) = 4.

Thay m = 1, n = 2 vào ta được f(5) = 5. Ta có  $(f(5))^{2}=(f(3))^{2}+(f(4))^{2}$ ,từ đó tính được f(3) = 3. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp thông qua các nhận xét sau:

$(5n)^{2}=(4n)^{2}+(3n)^{2}$

$(5n+1)^{2}+3^{2}=(4n-1)^{2}+(3n+3)^{2}$

$(5n+2)^{2}+1^{2}=(4n+1)^{2}+(3n+2)^{2}$

$(5n+3)^{2}+1^{2}=(4n+3)^{2}+(3n+1)^{2}$

$(5n+4)^{2}+2^{2}=(4n+2)^{2}+(3n+4)^{2}$.

Khi đó ta sẽ chứng minh được chỉ có duy nhất hàm f(n) = n thoả đề bài.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 08-06-2013 - 12:31

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 07-06-2013 - 11:22

Bài toán 45 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa :

 

1) $f(1)>0$

 

2 ) $f(m^2+n^2)=(f(n))^2+(f(m))^2$

Nam ơi, bài này cô Trang cho lớp e rùi, dễ ợt:

Từ điều kiện đề bài cho m = n = 0 thì ta suy ra f(0) = 0. Lại thay m = 1 và n = 0 thì ta tính được f(1) = 1. Thay m = n = 1 ta được f(2) = 2. Thay m = 0 ta được $f(n^{2})=(f(n))^{2}$. Khi đó ta tính được f(4) = 4.

Thay m = 1, n = 2 vào ta được f(5) = 5. Ta có  $(f(5))^{2}=(f(3))^{2}+(f(4))^{2}$ ,từ đó tính được f(3) = 3. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp thông qua các nhận xét sau:

$(5n)^{2}=(4n)^{2}+(3n)^{2}$

$(5n+1)^{2}+3^{2}=(4n-1)^{2}+(3n+3)^{2}$

$(5n+2)^{2}+1^{2}=(4n+1)^{2}+(3n+2)^{2}$

$(5n+3)^{2}+1^{2}=(4n+3)^{2}+(3n+1)^{2}$

$(5n+4)^{2}+2^{2}=(4n+2)^{2}+(3n+4)^{2}$.

Khi đó ta sẽ chứng minh được chỉ có duy nhất hàm f(n) = n thoả đề bài.


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#3 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 633 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 28-11-2013 - 22:36

Bài toán 45 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa :

 

1) $f(1)>0$

 

2 ) $f(m^2+n^2)=(f(n))^2+(f(m))^2$

 

Giải :

 

Từ điều kiện đề bài cho m = n = 0 thì ta suy ra f(0) = 0. Lại thay m = 1 và n = 0 thì ta tính được f(1) = 1. Thay m = n = 1 ta được f(2) = 2. Thay m = 0 ta được $f(n^{2})=(f(n))^{2}$. Khi đó ta tính được f(4) = 4.

Thay m = 1, n = 2 vào ta được f(5) = 5. Ta có  $(f(5))^{2}=(f(3))^{2}+(f(4))^{2}$ ,từ đó tính được f(3) = 3. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp thông qua các nhận xét sau:

$(5n)^{2}=(4n)^{2}+(3n)^{2}$

$(5n+1)^{2}+3^{2}=(4n-1)^{2}+(3n+3)^{2}$

$(5n+2)^{2}+1^{2}=(4n+1)^{2}+(3n+2)^{2}$

$(5n+3)^{2}+1^{2}=(4n+3)^{2}+(3n+1)^{2}$

$(5n+4)^{2}+2^{2}=(4n+2)^{2}+(3n+4)^{2}$.

Khi đó ta sẽ chứng minh được chỉ có duy nhất hàm f(n) = n thoả đề bài.

E  nghĩ giải theo modulo $5$ đúng nhưng hơi dài. E giải chỉ dựa vào modulo $2$, cụ thể là ta có $2$ đẳng thức 

$(2k+1)^2+(k-2)^2=(2k-1)^2+(k+2)^2$

$(2k+2)^2+(k-4)^2=(2k-2)^2+(k+4)^2$

Sau đó dùng quy nạp làm nốt


$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#4 napoleong

napoleong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Đã gửi 28-11-2013 - 23:09

Bài toán 45 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa :

 

1) $f(1)>0$

 

2 ) $f(m^2+n^2)=(f(n))^2+(f(m))^2$

 

Giải :

 

Từ điều kiện đề bài cho m = n = 0 thì ta suy ra f(0) = 0. Lại thay m = 1 và n = 0 thì ta tính được f(1) = 1. Thay m = n = 1 ta được f(2) = 2. Thay m = 0 ta được $f(n^{2})=(f(n))^{2}$. Khi đó ta tính được f(4) = 4.

Thay m = 1, n = 2 vào ta được f(5) = 5. Ta có  $(f(5))^{2}=(f(3))^{2}+(f(4))^{2}$ ,từ đó tính được f(3) = 3. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp thông qua các nhận xét sau:

$(5n)^{2}=(4n)^{2}+(3n)^{2}$

$(5n+1)^{2}+3^{2}=(4n-1)^{2}+(3n+3)^{2}$

$(5n+2)^{2}+1^{2}=(4n+1)^{2}+(3n+2)^{2}$

$(5n+3)^{2}+1^{2}=(4n+3)^{2}+(3n+1)^{2}$

$(5n+4)^{2}+2^{2}=(4n+2)^{2}+(3n+4)^{2}$.

Khi đó ta sẽ chứng minh được chỉ có duy nhất hàm f(n) = n thoả đề bài.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh