Bài toán 45 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa :
1) $f(1)>0$
2 ) $f(m^2+n^2)=(f(n))^2+(f(m))^2$
Giải :
Từ điều kiện đề bài cho m = n = 0 thì ta suy ra f(0) = 0. Lại thay m = 1 và n = 0 thì ta tính được f(1) = 1. Thay m = n = 1 ta được f(2) = 2. Thay m = 0 ta được $f(n^{2})=(f(n))^{2}$. Khi đó ta tính được f(4) = 4.
Thay m = 1, n = 2 vào ta được f(5) = 5. Ta có $(f(5))^{2}=(f(3))^{2}+(f(4))^{2}$ ,từ đó tính được f(3) = 3. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp thông qua các nhận xét sau:
$(5n)^{2}=(4n)^{2}+(3n)^{2}$
$(5n+1)^{2}+3^{2}=(4n-1)^{2}+(3n+3)^{2}$
$(5n+2)^{2}+1^{2}=(4n+1)^{2}+(3n+2)^{2}$
$(5n+3)^{2}+1^{2}=(4n+3)^{2}+(3n+1)^{2}$
$(5n+4)^{2}+2^{2}=(4n+2)^{2}+(3n+4)^{2}$.
Khi đó ta sẽ chứng minh được chỉ có duy nhất hàm f(n) = n thoả đề bài.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 08-06-2013 - 12:31