Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 07-06-2013 - 08:43

Bài toán 46:  Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn : $f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$

 

Giải:

 

Thay $y=x^3$ ta có : $f(0)+2x^{12}+6x^3(f(x))^2=f(f(x)+x^3)$ (1)

 

Thay $y=-f(x)$ ta có : $f(x^3+f(x))-2(f(x))^4-6(f(x))^3=f(0)$ (2)

 

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được ; $2x^12+6x^3(f(x))^2-2(f(x))^4-6(f(x))^3=0$

 

Từ đó ta tìm được $f(x)=x^3,\forall x\in \mathbb{R}$

 

Thử lại thỏa.

 

Vậy $f(x)=x^3,\forall x\in \mathbb{R}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 08-06-2013 - 12:28

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 08-06-2013 - 12:27

Bài toán 46:  Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn : $f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$

 

Tình hình là không ai giải bài này, thôi mình chém luôn  >:) .

 

Thay $y=x^3$ ta có : $f(0)+2x^{12}+6x^3(f(x))^2=f(f(x)+x^3)$ (1)

 

Thay $y=-f(x)$ ta có : $f(x^3+f(x))-2(f(x))^4-6(f(x))^3=f(0)$ (2)

 

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được ; $2x^12+6x^3(f(x))^2-2(f(x))^4-6(f(x))^3=0$

 

Từ đó ta tìm được $f(x)=x^3,\forall x\in \mathbb{R}$

 

Thử lại thỏa.

 

Vậy $f(x)=x^3,\forall x\in \mathbb{R}$


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#3 harryhuyen

harryhuyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

Đã gửi 10-02-2017 - 18:15

Tình hình là không ai giải bài này, thôi mình chém luôn  >:) .

 

Thay $y=x^3$ ta có : $f(0)+2x^{12}+6x^3(f(x))^2=f(f(x)+x^3)$ (1)

 

Thay $y=-f(x)$ ta có : $f(x^3+f(x))-2(f(x))^4-6(f(x))^3=f(0)$ (2)

 

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được ; $2x^12+6x^3(f(x))^2-2(f(x))^4-6(f(x))^3=0$

 

Từ đó ta tìm được $f(x)=x^3,\forall x\in \mathbb{R}$

 

Thử lại thỏa.

 

Vậy $f(x)=x^3,\forall x\in \mathbb{R}$

bạn giải thích rộn hơn chỗ này đc ko :Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được ; $2x^12+6x^3(f(x))^2-2(f(x))^4-6(f(x))^3=0$

 

Từ đó ta tìm được $f(x)=x^3,\forall x\in \mathbb{R}$







2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh