Bài 3 có 1 cách đơn giản hơn thế này.Vẫn đưa về:
$2+3+..+p_{i}=(\frac{p_{i+1}-1}{2})^{2}$.Nhưng ta sẽ cm $2+3+..+p_{i}< (\frac{P_{i+1}-1}{2})^{2}$
với $i\geq 6$.Với $i=6$,hiển nhiên.Giả sử đúng đến $k$.tức là $2+3+..+p_{k}< (\frac{P_{k+1}-1}{2})^{2}$
ta sẽ chứng minh $2+3+..+p_{k}+p_{k+1}< (\frac{p_{k+2}-1}{2})^{2}$
theo giả thiết quy nạp $2+3+..+p_{k}+p_{k+1}<p_{k+1}+(\frac{p_{k+1}-1}{2})^{2}$
Nên ta phải cm $p_{k+1}+(\frac{p_{k+1}-1}{2})^{2}\leq (\frac{p_{k+2}-1}{2})^{2}$
$\Leftrightarrow p_{k+1}+2\leq p_{k+2}$,Hiển nhiên đúng do $p$ là các số nguyên tố.