Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh cách dựng đường tròn tiếp xúc với 2 đường tròn cho trước


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-06-2013 - 17:33

Cho 2 đường tròn $(O;R)$ và $(O';R')$ tiếp xúc ngoài, trong đó $R<R'$. Gọi $d$ là tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn. Gọi $A,B$ lần lượt là tiếp điểm của $(O),(O')$ với $d$. Trên tia $BO'$ lấy $F$ sao cho $BF=\sqrt{R.R'}$.

 

Từ $F$ kẻ đường thẳng song song $AB$ cắt $OO'$ tại $K$. Hạ $KH \perp AB$ ($H\in AB$). Trên tia $KH$ lấy điểm $M$ sao cho $HM=4\sqrt{R.R'}$.

 

Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABM$. Đường tròn này cắt $HK$ tại $I.$

 

Chứng minh rằng $I$ là tâm đường tròn tiếp xúc với $(O),(O')$ và $AB.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 02-11-2017 - 01:37


#2 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 18-10-2017 - 20:43

Lời giải :

-Gọi $L$ là tiếp điểm của $(O),(O')$, $N$ là trung điểm $AB$ . $E$ là hình của của $O$ xuống $BO'$ , Ta có $\frac{HA}{HB}=\frac{FE}{FO'}=\frac{\sqrt{RR'}-R'}{R-\sqrt{RR'}}=\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R'}}$ và $\frac{LA}{LB}=\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R'}}$ ( Do hình chiếu của $L$ xuống $AB$ là đường đối trung tam giác $LAB$ ) Từ đó có $LH$ là phân giác góc $ALB$

-Gọi $J,G$ lần lượt là điểm đối xứng với $H$ qua $I,K$ Ta có $HJ.HG=HM.HI=HA.HB$ nên $\Delta AHG \sim \Delta JHB$ nên $J$ là trực tâm tam giác $ABG$

- Gọi $OO'$ cắt $AB$ tại $X$ . Dễ thấy $XL$ tiếp xúc với $(LAB)$ mà $LH$ là phân giác góc $ALB$ nên $XL=XH$

- Gọi $H'$ đối xứng với $H$ qua $X$ Mà $XH^2=XA.XB$ nên $(HH'AB)=-1$ nên $HN.HH'=HA.HB=HJ.HG$ nên  $J$ là trực tâm tam giác $GNH'$ nên $GJ\perp H'G =>GJ\perp XK$ . mà $NL\perp XK$ nên $N,L,J$ thẳng hàng nên $JL\perp XK$ .mà $XH=XL$ Suy ra $JL=JH$

- Gọi $(I,IH)$ cắt $AJ$ tại $P$  nên $JL^2=JH^2=JP.JA$ nên $(APL)$ tiếp xúc với $LJ$ nên $P$ thuộc $(O)$

Hơn nữa $\widehat{PHJ}+\widehat{PAL}=\widehat{HAL}=\widehat{JPL}$ , Gọi  $Px$ là tiếp tuyển của $(O)$ nên $\widehat{xPJ}=\widehat{PHJ}$ nên $(I)$ cũng tiếp xúc với $Px$ Nên $(I)$ tiếp xúc với $(O)$ , tương tự ta cũng có $(I)$ tiếp xúc với $(O')$

Ustitled.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ecchi123: 20-10-2017 - 08:00

~O)  ~O)  ~O)


#3 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4210 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 21-10-2017 - 13:04

@ecchi123:

Em viết bị nhầm một số chỗ chỗ:

- $\frac{{FE}}{{FO'}} = \frac{{\sqrt {RR'}  - \sqrt R }}{{R' - \sqrt {RR'} }}$

- $NJ \perp H'G \Rightarrow NJ \perp XK$

 

Còn lại thì đúng rồi. +10 điểm PSW cho em nhé.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh