Đến nội dung


Hình ảnh

$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 07-06-2013 - 18:10

Bài toán 48 : Tìm tất cả các hàm $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn 

 

$(1)f(1)=1$

 

$(2)f(-1)=-1$

 

$(3)f(n)\leq f(0)$, với $0<x<1$

 

$(4)f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

$(5)f(x+y)\leq f(x)+f(y)+1, \forall x,y\in \mathbb{R}$

 

Giải :

 

-Từ $(4)$ cho $y=0$ có $f(x)\geq f(x)+f(0)\Rightarrow f(0)\leq 0$.

Cho $x=-1,y=1$ có $f(0)\geq f(1)+f(-1)=0$

$\Rightarrow f(0)=0$

-Từ $(3)$ khi $1>x>0$ thì $1>1-x>0$

Thay $y$ bằng $1-x$ vào $(5)$ có $1=f(1)\leq f(x)+f(1-x)+1\leq 1\Rightarrow f(x)=0$

- Với $x>0$

Ta có $f(x)\geq f(\left \lfloor x \right \rfloor)+f(\left \{ x \right \})\geq f(\left \lfloor x \right \rfloor)\geq \left \lfloor x \right \rfloor f(1)=\left \lfloor x \right \rfloor$

Mà $f(x)\leq \left \lfloor x \right \rfloor  +\left \lfloor x+1 \right \rfloor f(\dfrac{x}{\left \lfloor x+1 \right \rfloor})=\left \lfloor x \right \rfloor$

$\Rightarrow f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor$

Từ $(4);(1)$ có $f(x+1) \geq f(x)+1$

      $ (4);(2)$ có $f(x) \geq f(x+1)-1$

    $\leftrightarrow f(x+1)=f(x)+1$

kết hợp $f(x)=0 \forall x \in (0;1)$

có $f(x)=[x] \forall x\in \mathbb{R}$.

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 08-06-2013 - 12:29

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 07-06-2013 - 22:07

Bài toán 48 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn 

 

$(1)f(1)=1$

 

$(2)f(-1)=-1$

 

$(3)f(x)\leq f(0)$, với $0<x<1$

 

$(4)f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$

 

$(5)f(x+y)\leq f(x)+f(y)+1, \forall x,y\in \mathbb{R}$

-Từ $(4)$ cho $y=0$ có $f(x)\geq f(x)+f(0)\Rightarrow f(0)\leq 0$.

Cho $x=-1,y=1$ có $f(0)\geq f(1)+f(-1)=0$

$\Rightarrow f(0)=0$

-Từ $(3)$ khi $1>x>0$ thì $1>1-x>0$

Thay $y$ bằng $1-x$ vào $(5)$ có $1=f(1)\leq f(x)+f(1-x)+1\leq 1\Rightarrow f(x)=0$

- Với $x>0$

Ta có $f(x)\geq f(\left \lfloor x \right \rfloor)+f(\left \{ x \right \})\geq f(\left \lfloor x \right \rfloor)\geq \left \lfloor x \right \rfloor f(1)=\left \lfloor x \right \rfloor$

Mà $f(x)\leq \left \lfloor x \right \rfloor  +\left \lfloor x+1 \right \rfloor f(\dfrac{x}{\left \lfloor x+1 \right \rfloor})=\left \lfloor x \right \rfloor$

$\Rightarrow f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor$

 

Ps: Còn $x<0$ mai nghĩ tiếp :))


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3 em yeu chi anh

em yeu chi anh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:9a2 THCS Phạm Huy Quang

Đã gửi 08-06-2013 - 09:49

Nốt.

Từ $(4);(1)$ có $f(x+1) \geq f(x)+1$

      $ (4);(2)$ có $f(x) \geq f(x+1)-1$

    $\leftrightarrow f(x+1)=f(x)+1$

kết hợp $f(x)=0 \forall x \in (0;1)$

có $f(x)=[x] \forall x\in \mathbb{R}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi em yeu chi anh: 08-06-2013 - 09:51

Sẽ cố gắng mọi điều trong cuộc sống vì anh và vì chính em!!!

Mong rằng sau này có thể giúp đỡ anh nhiều!!!






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh