Bài toán 48 : Tìm tất cả các hàm $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$(1)f(1)=1$
$(2)f(-1)=-1$
$(3)f(n)\leq f(0)$, với $0<x<1$
$(4)f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$
$(5)f(x+y)\leq f(x)+f(y)+1, \forall x,y\in \mathbb{R}$
Giải :
-Từ $(4)$ cho $y=0$ có $f(x)\geq f(x)+f(0)\Rightarrow f(0)\leq 0$.
Cho $x=-1,y=1$ có $f(0)\geq f(1)+f(-1)=0$
$\Rightarrow f(0)=0$
-Từ $(3)$ khi $1>x>0$ thì $1>1-x>0$
Thay $y$ bằng $1-x$ vào $(5)$ có $1=f(1)\leq f(x)+f(1-x)+1\leq 1\Rightarrow f(x)=0$
- Với $x>0$
Ta có $f(x)\geq f(\left \lfloor x \right \rfloor)+f(\left \{ x \right \})\geq f(\left \lfloor x \right \rfloor)\geq \left \lfloor x \right \rfloor f(1)=\left \lfloor x \right \rfloor$
Mà $f(x)\leq \left \lfloor x \right \rfloor +\left \lfloor x+1 \right \rfloor f(\dfrac{x}{\left \lfloor x+1 \right \rfloor})=\left \lfloor x \right \rfloor$
$\Rightarrow f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor$
Từ $(4);(1)$ có $f(x+1) \geq f(x)+1$
$ (4);(2)$ có $f(x) \geq f(x+1)-1$
$\leftrightarrow f(x+1)=f(x)+1$
kết hợp $f(x)=0 \forall x \in (0;1)$
có $f(x)=[x] \forall x\in \mathbb{R}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 08-06-2013 - 12:29
