Chủ đề này có 1 trả lời

[The Collection]

Cho đường tròn tâm $I$ đường kính $BC$, vẽ dây $HK$ cắt $BC$ tại $O$ bên ngoài $(I)$. Tiếp tuyến tại $H$ và $K$ của $(O)$ cắt $BC$ lần lượt tại $A,D$. Chứng minh rằng: \[AC.BO.DO=BD.AO.CO\]

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranminhbao2607: 09-06-2013 - 08:26

[NLT]

Cho đường tròn tâm $I$ đường kính $BC$, vẽ dây $HK$ cắt $BC$ tại $O$ bên ngoài $(I)$. Tiếp tuyến tại $H$ và $K$ của $(O)$ cắt $BC$ lần lượt tại $A,D$. Chứng minh rằng: \[AC.BO.DO=BD.AO.CO\]

 

Ảnh chụp màn hình_2013-06-09_082358.png

 

Giải như sau:

 

 

Bài này với mọi dây $BC$ của $(I)$. Gọi các điểm như hình vẽ.

 

Áp dụng định lý Menelaus vào $\Delta XBC$ và $\Delta EAD$: \[\frac{{HX}}{{HB}}.\frac{{OB}}{{OC}}.\frac{{KC}}{{KX}} = 1 \to \frac{{OB}}{{OC}} = \frac{{HB}}{{HX}}.\frac{{KX}}{{KC}}\] \[\frac{{HE}}{{HA}}.\frac{{OA}}{{OD}}.\frac{{KD}}{{KE}} = 1 \to \frac{{OD}}{{OA}} = \frac{{HE}}{{HA}}.\frac{{KD}}{{KE}} = \frac{{KD}}{{HA}}\] \[ \Rightarrow \frac{{OB}}{{OC}}.\frac{{OD}}{{OA}}.\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{HB}}{{HX}}.\frac{{KX}}{{KC}}.\frac{{KD}}{{HA}}.\frac{{AC}}{{BD}} (*)\]

Để ý: $\Delta AHB ~ \Delta ACH; \Delta DCK ~ \Delta DKB; \Delta XBK ~ \Delta XCH$   nên: \[\frac{{AC}}{{HA}} = \frac{{HC}}{{HB}};\frac{{KD}}{{BD}} = \frac{{KC}}{{KB}};\frac{{KX}}{{HX}} = \frac{{KB}}{{HC}}\]

Thế vào $(*)$ ta có $\frac{{OB}}{{OC}}.\frac{{OD}}{{OA}}.\frac{{AC}}{{BD}} = 1$, và đó là đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NLT: 09-06-2013 - 09:28