Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi Toán vòng 2 trường THPT Chuyên KHTN năm 2013 - 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 34 trả lời

#1
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Câu I:
$\cdot 1)$ Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3 = 1+y-x+xy\\ 7xy+y-x = 7 \end{matrix}\right.$$
 
$\cdot 2)$ Giải phương trình:
$$x + 3 = \sqrt{1-x^2}  = 3\sqrt{x+1} + \sqrt{1-x}$$
 
Câu II:
$\cdot 1)$ Giải phương trình nghiệm nguyên ẩn $x,y$:
$$ 5x^2 + 8y^2 = 20412 $$
 
$\cdot 2)$ Với $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y \leq 1$, tìm giá trị cực tiểu của biểu thức:
$$ P = (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y})\sqrt{1+x^2y^2} $$
 
Câu III:
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có trực tâm $H$. Gọi $P$ là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle HBC$ ($P \neq B, C, H$) và nằm trong tam giác $ABC$. $PB$ cắt $(O)$ tại $M \neq B$, $PC$ cắt $(O)$ tại $N \neq C$. $BM$ cắt $AC$ tại $E$, $CN$ cắt $AB$ tại F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AME$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANF$ cắt nhau tại $Q \neq A$.
$\cdot 1)$ Chứng minh $\overline{M,N,Q}$
$\cdot 2)$ Giả dụ $AP$ là phân giác $\angle MAN$. Chứng minh $PQ$ đi qua trung điểm của $BC$
 
Câu IV:
Giả dụ dãy số thực có thứ tự $x_1 \leq x_2 \leq .... \leq x_{192}$ thỏa mãn điều kiện
$$\left\{\begin{matrix} x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n = 0\\ \begin{vmatrix} x_1 \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} x_2 \end{vmatrix} + ... + \begin{vmatrix} x_{192} \end{vmatrix} = 2013 \end{matrix}\right.$$ 

Hãy chứng minh $$x_{192} - x_1 \geq \dfrac{2013}{96}$$

 

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 09-06-2013 - 11:16


#2
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Câu 1: a) Cộng 2 PT ta được $$(x+y-2)(x^2-x y+y^2+2x+2y+4)=0$$

Đến đây ta được ...

Câu 1 b): PT tương đương với $$(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}-2)=0$$

Quá ngon ...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 09-06-2013 - 11:28

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#3
lenin1999

lenin1999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Câu 1: a) Cộng 2 PT ta được $$(x+y-2)(x^2-x y+y^2+2x+2y+4)=0$$

Đến đây ta được ...

Câu 1 b): PT tương đương với $$(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}-2)=0$$

Quá ngon ...

Chắc anh/chị và mọi người làm tốt lắm hả ?



#4
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
Câu 2: a) Đặt $x=2k$ ta được $5k^2+2y^2-5103=0$. Suy ra $y$ chia 5 dư $2$ hoặc $3$
Nếu $y=5t - 2$
Suy ra $k^2+10t^2 - 8t-1019=0$ Đặt $k=2a+1$ ta được $2a^2+2a+5t^2-4t-509=0$.
Đặt $t=2b+1$ ta được $a^2+10b^2+a+6b-254=0$
Xét $\Delta_a$ ta được $-5 \leq b \leq 4$
Thử thấy $b=-3$ là thỏa mãn ...
Suy ra ...
Nếu $y=5t+2$ thì tương tự ...
b) $$P=(x+y)\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2y^2}} \geq \dfrac{\sqrt[17]{4} \sqrt{17}(x+y)}{4(xy)^{16/17}} \\ \geq \dfrac{ \sqrt{17}(x+y)}{4\left(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4} \right)^{16/17}}=\dfrac{\sqrt{17}}{\left(x+y\right)^{15/17}} \geq \sqrt{17}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 09-06-2013 - 11:57

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#5
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Câu IV:
Giả dụ dãy số thực có thứ tự $x_1 \leq x_2 \leq .... \leq x_{192}$ thỏa mãn điều kiện
$$\left\{\begin{matrix} x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n = 0\\ \begin{vmatrix} x_1 \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} x_2 \end{vmatrix} + ... + \begin{vmatrix} x_{192} \end{vmatrix} = 2013 \end{matrix}\right.$$ 

Hãy chứng minh $$x_{192} - x_1 \geq \dfrac{2013}{96}$$

Đề thế này chắc các bé trâu trâu 1 tý là làm ng0n nhỷ :)) Có lẽ năm nay KHTN lại lấy điểm chuẩn vào toán chuyên tầm ~40 :P

Câu IV : Ta giải luôn bài toán tổng quát : Ch0 các số thực $a_1\leq a_2 \leq ...\leq a_n$ thỏa mãn $a_1+a_2+...+a_n=0$ và $|a_1|+|a_2|+...+|a_n|=1$, chứng minh :

$$a_n-a_1\geq \frac{2}{n}$$

Bài giải :

Thật tự nhiên, ta muốn chia dãy $a_1,a_2,...,a_n$ thành 1 dãy âm, 1 dãy dương để phá dấu giá trị tuyệt đối.

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử $a_1\leq a_2\leq... \leq a_k\leq 0\leq a_{k+1}\leq ...\leq a_n$.

Lúc đó thì :

$$\left\{\begin{matrix} (a_1+a_2+...+a_k)+(a_{k+1}+...+a_n)=0\\ -(a_1+a_2+...+a_k)+(a_{k+1}+...+a_n)=1\end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a_1+a_2+...+a_k)=-\frac{1}{2}\\ (a_{k+1}+...+a_n)=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$

Mà $a_1\leq a_2\leq...\leq a_k$ nên $a_1\leq -\frac{1}{2k}$ và $a_{k+1}\leq...\leq a_n$ nên $a_n\geq \frac{1}{2(n-k)}$. Tóm lại :

$$a_n-a_1\geq \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{n-k}\right)\geq \frac{2}{n}\,\,\,\square$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 09-06-2013 - 12:11
Quote lại đề.

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#6
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Câu 2: a) Đặt $x=2k$ ta được $5k^2+2y^2-5103=0$. Đặt $y=2t$ ta được $5k^2+8t^2=5103$... Suy ra $5k^2$ chia $8$ dư $7$, vô lý ...

Sai r a



#7
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

 

Đề thế này chắc các bé trâu trâu 1 tý là làm ng0n nhỷ :)) Có lẽ năm nay KHTN lại lấy điểm chuẩn vào toán chuyên tầm ~40 :P

Câu IV : Ta giải luôn bài toán tổng quát : Ch0 các số thực $a_1\leq a_2 \leq ...\leq a_n$ thỏa mãn $a_1+a_2+...+a_n=0$ và $|a_1|+|a_2|+...+|a_n|=1$, chứng minh :

$$a_n-a_1\geq \frac{2}{n}$$

Bài giải :

Thật tự nhiên, ta muốn chia dãy $a_1,a_2,...,a_n$ thành 1 dãy âm, 1 dãy dương để phá dấu giá trị tuyệt đối.

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử $a_1\leq a_2\leq... \leq a_k\leq 0\leq a_{k+1}\leq ...\leq a_n$.

Lúc đó thì :

$$\left\{\begin{matrix} (a_1+a_2+...+a_k)+(a_{k+1}+...+a_n)=0\\ -(a_1+a_2+...+a_k)+(a_{k+1}+...+a_n)=1\end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a_1+a_2+...+a_k)=-\frac{1}{2}\\ (a_{k+1}+...+a_n)=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$

Mà $a_1\leq a_2\leq...\leq a_k$ nên $a_1\leq -\frac{1}{2k}$ và $a_{k+1}\leq...\leq a_n$ nên $a_n\geq \frac{1}{2(n-k)}$. Tóm lại :

$$a_n-a_1\geq \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{n-k}\right)\geq \frac{2}{n}\,\,\,\square$$

 

Cách của em giống hệt thế này  :icon6: . Thế là yên tâm k sai được rồi

Để em chém câu 2b (dễ nhất)  :luoi: 

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $P\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{xy+\frac{1}{xy}}=2\sqrt{xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy}}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{16xy}}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{4}}=\sqrt{17}$


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#8
MrJokerWTF

MrJokerWTF

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

 

Đề thế này chắc các bé trâu trâu 1 tý là làm ng0n nhỷ :)) Có lẽ năm nay KHTN lại lấy điểm chuẩn vào toán chuyên tầm ~40 :P

Câu IV : Ta giải luôn bài toán tổng quát : Ch0 các số thực $a_1\leq a_2 \leq ...\leq a_n$ thỏa mãn $a_1+a_2+...+a_n=0$ và $|a_1|+|a_2|+...+|a_n|=1$, chứng minh :

$$a_n-a_1\geq \frac{2}{n}$$

Bài giải :

Thật tự nhiên, ta muốn chia dãy $a_1,a_2,...,a_n$ thành 1 dãy âm, 1 dãy dương để phá dấu giá trị tuyệt đối.

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử $a_1\leq a_2\leq... \leq a_k\leq 0\leq a_{k+1}\leq ...\leq a_n$.

Lúc đó thì :

$$\left\{\begin{matrix} (a_1+a_2+...+a_k)+(a_{k+1}+...+a_n)=0\\ -(a_1+a_2+...+a_k)+(a_{k+1}+...+a_n)=1\end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a_1+a_2+...+a_k)=-\frac{1}{2}\\ (a_{k+1}+...+a_n)=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$

Mà $a_1\leq a_2\leq...\leq a_k$ nên $a_1\leq -\frac{1}{2k}$ và $a_{k+1}\leq...\leq a_n$ nên $a_n\geq \frac{1}{2(n-k)}$. Tóm lại :

$$a_n-a_1\geq \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{n-k}\right)\geq \frac{2}{n}\,\,\,\square$$

 

 

Cách của em giống hệt thế này  :icon6: . Thế là yên tâm k sai được rồi

Để em chém câu 2b (dễ nhất)  :luoi: 

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $P\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{xy+\frac{1}{xy}}=2\sqrt{xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy}}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{16xy}}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{4}}=\sqrt{17}$

bài cuối sao có thể tư duy ra thế này vậy ???



#9
pcfamily

pcfamily

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

 $\cdot 2)$ Giải phương trình:
$$x + 3 = \sqrt{1-x^2}  = 3\sqrt{x+1} + \sqrt{1-x}$$
 
 

Câu này khá buồn cười  :icon6:

Từ điều kiện $-1\leq x\leq 1$

Nên $x+3\geq 2$ mà $\sqrt{1-x^2}\leq 1$

Suy ra PTVN



#10
0132345

0132345

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

Vãi thật. Toàn mấy câu được đánh giá dễ hơn thì không làm đc. bài cuối mình chỉ làm trường hợp cụ thể nhưng có lẽ giống rồi

Câu 2 a mình dùng cái định lý tổng 2 số chính phương chia hết cho 3 thì 2 số đó chia hết cho 3

Không thạo Latex nên viết tay vậy



#11
Ganarvn

Ganarvn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

PT nghiệm nguyên vô nghiệm đúng không.

câu đấy xét thiếu mất một TH không biết có bị trừ điểm không

tớ xét đồng dư với 16



#12
chetdi

chetdi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

pt nghiem nguyen co nghiem VD x=54,y=27



#13
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

Câu 1: a) Cộng 2 PT ta được $$(x+y-2)(x^2-x y+y^2+2x+2y+4)=0$$

Đến đây ta được ...

Câu 1 b): PT tương đương với $$(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}-2)=0$$

Quá ngon ...

câu 1 a bạn có cm cái trong ngoặc to vô nghiệm ko


tàn lụi


#14
lenin1999

lenin1999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Trong mấy cái đề gần đây ở Hà Nội thì cái đề này có vẻ là nhẹ nhàng nhất, chủ yếu là cẩn thận và kĩ lưỡng. :wub:



#15
Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết

Câu I:
$\cdot 1)$ Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3 = 1+y-x+xy\\ 7xy+y-x = 7 \end{matrix}\right.$$
 
$\cdot 2)$ Giải phương trình:
$$x + 3 = \sqrt{1-x^2}  = 3\sqrt{x+1} + \sqrt{1-x}$$
 
Câu II:
$\cdot 1)$ Giải phương trình nghiệm nguyên ẩn $x,y$:
$$ 5x^2 + 8y^2 = 20412 $$
 
$\cdot 2)$ Với $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y \leq 1$, tìm giá trị cực tiểu của biểu thức:
$$ P = (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y})\sqrt{1+x^2y^2} $$
 
Câu III:
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có trực tâm $H$. Gọi $P$ là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\triangle HBC$ ($P \neq B, C, H$) và nằm trong tam giác $ABC$. $PB$ cắt $(O)$ tại $M \neq B$, $PC$ cắt $(O)$ tại $N \neq C$. $BM$ cắt $AC$ tại $E$, $CN$ cắt $AB$ tại F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AME$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANF$ cắt nhau tại $Q \neq A$.
$\cdot 1)$ Chứng minh $\overline{M,N,Q}$
$\cdot 2)$ Giả dụ $AP$ là phân giác $\angle MAN$. Chứng minh $PQ$ đi qua trung điểm của $BC$
 
Câu IV:
Giả dụ dãy số thực có thứ tự $x_1 \leq x_2 \leq .... \leq x_{192}$ thỏa mãn điều kiện
$$\left\{\begin{matrix} x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n = 0\\ \begin{vmatrix} x_1 \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} x_2 \end{vmatrix} + ... + \begin{vmatrix} x_{192} \end{vmatrix} = 2013 \end{matrix}\right.$$ 

Hãy chứng minh $$x_{192} - x_1 \geq \dfrac{2013}{96}$$

 

Spoiler

câu 2

1 từ đầu bài suy ra x và y cùng chia hết cho 3 
đặt x=3k,y=3m thay vô xong lại chia cho 9 
cứ làm tương tự như vậy 
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 09-06-2013 - 16:51

tàn lụi


#16
MrJokerWTF

MrJokerWTF

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

câu 1 a bạn có cm cái trong ngoặc to vô nghiệm ko

Trong ngoặc vẫn có nghiệm x=y=-2 nhưng vì đây là phương trình hệ quả nên thử lại vào đề bài thấy không thỏa mãn nên loại , tách ra thành 3 cụm bình phương = 0 sẽ tìm đc nghiệm trong ngoặc đó



#17
bossulan239

bossulan239

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Moi nguoi nghi nam nay truong KHTN lay bao nhieu diem ?



#18
andymurray44

andymurray44

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết

Moi nguoi nghi nam nay truong KHTN lay bao nhieu diem ?

Tui thi chuyên Tin thui nên chắc điểm chuyên toán tầm 40,chuyên Tin tầm 37-38 điểm



#19
Ganarvn

Ganarvn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

tớ làm xong hết bài hình thì lại làm sai mất bài nghiệm nguyên.điên kinh khủng.

cm A,P,Q thẳng hàng.cm PEQF là hình bình hành suy ra AP đi qua trung điểm EF.cm EF song song với BC bằng Ta-let đảo suy ra đpcm

xin lỗi tớ không biết gõ latex nên viết đại khái thế.Bạn nào post cách giải đầy đủ nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ganarvn: 09-06-2013 - 19:32


#20
phuongle998

phuongle998

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

pt nghiem nguyen co nghiem VD x=54,y=27

Còn nghiệm âm nữa pạn ạ

 x=-54,y=-27

 x=54,y=-27

 x=-54,y=27






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh