Đến nội dung


Hình ảnh

$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 09-06-2013 - 14:16

Bài toán 49 : Tìm $f:[0;1]\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$

 

Giải : 

 

Cho $y=0$ có $x^2\leq \left | f(x)-f(0) \right |\leq \left | x \right |$

Cho $x=1,y=0$ có $1 \leq \left | f(1)-f(0) \right | \leq 1\Rightarrow \left | f(1)-f(0) \right |=1$

Ta có $\left | 1-x\right | \geq \left | f(1)-f(x) \right | = \left | (f(1)-f(0))-(f(x)-f(0)) \right |$

$\geq \left | f(1)-f(0) \right |-\left | f(x)-f(0) \right | \geq 1-\left | x \right |$

Do $1\geq x\geq 0$ nên $\left | 1-x \right |=1-\left | x \right |$

Hay $\left | f(1)-f(0) \right |-\left | f(x)-f(0) \right | = 1-\left | x \right |\Rightarrow \left | f(x)-f(0) \right |=\left | x \right | $

$\Rightarrow f(x)=x+c \vee f(x)=-x+c$ với $c=f(0)$

Kết hợp với $\left | 1-x\right | = \left | f(1)-f(x) \right |$ ta chứng minh được chỉ có hai hàm thỏa $f(x)=x+c$ và $f(x)=-x+c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 11-06-2013 - 10:36

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 10-06-2013 - 18:22

Tình hình là bài này không khó lắm, hy vọng các bạn sẽ tham gia giải.


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#3 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 10-06-2013 - 21:12



Bài toán 49 : Tìm $f:[0;1]\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $(\left | x-y \right |)^2\leq \left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$

Cho $y=0$ có $x^2\leq \left | f(x)-f(0) \right |\leq \left | x \right |$

Cho $x=1,y=0$ có $1 \leq \left | f(1)-f(0) \right | \leq 1\Rightarrow \left | f(1)-f(0) \right |=1$

Ta có $\left | 1-x\right | \geq \left | f(1)-f(x) \right | = \left | (f(1)-f(0))-(f(x)-f(0)) \right |$

$\geq \left | f(1)-f(0) \right |-\left | f(x)-f(0) \right | \geq 1-\left | x \right |$

Do $1\geq x\geq 0$ nên $\left | 1-x \right |=1-\left | x \right |$

Hay $\left | f(1)-f(0) \right |-\left | f(x)-f(0) \right | = 1-\left | x \right |\Rightarrow \left | f(x)-f(0) \right |=\left | x \right | $

$\Rightarrow f(x)=x+c \vee f(x)=-x+c$ với $c=f(0)$

Kết hợp với $\left | 1-x\right | = \left | f(1)-f(x) \right |$ ta chứng minh được chỉ có hai hàm thỏa $f(x)=x+c$ và $f(x)=-x+c$ :))


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh