Bài toán 49 : Tìm $f:[0;1]\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa $\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$
Giải :
Cho $y=0$ có $x^2\leq \left | f(x)-f(0) \right |\leq \left | x \right |$
Cho $x=1,y=0$ có $1 \leq \left | f(1)-f(0) \right | \leq 1\Rightarrow \left | f(1)-f(0) \right |=1$
Ta có $\left | 1-x\right | \geq \left | f(1)-f(x) \right | = \left | (f(1)-f(0))-(f(x)-f(0)) \right |$
$\geq \left | f(1)-f(0) \right |-\left | f(x)-f(0) \right | \geq 1-\left | x \right |$
Do $1\geq x\geq 0$ nên $\left | 1-x \right |=1-\left | x \right |$
Hay $\left | f(1)-f(0) \right |-\left | f(x)-f(0) \right | = 1-\left | x \right |\Rightarrow \left | f(x)-f(0) \right |=\left | x \right | $
$\Rightarrow f(x)=x+c \vee f(x)=-x+c$ với $c=f(0)$
Kết hợp với $\left | 1-x\right | = \left | f(1)-f(x) \right |$ ta chứng minh được chỉ có hai hàm thỏa $f(x)=x+c$ và $f(x)=-x+c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 11-06-2013 - 10:36