Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $\forall \,\, n, \, a_n$ nhân được bằng cách viết $n$ dưới dạng cơ số $p-1$ nhưng lại đọc trong cơ số $p$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Bài toán :

Ch0 $p$ là số nguyên tố lẻ và dãy $\{a_n\}_{(n\geq 0)}$ xác định bởi : $a_0=0,a_1=1,a_2=2,...,a_{p-2}=p-2$. $\forall n\geq p-1$, $a_n$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $a_{n-1}$ sao cho trong dãy $\{a_n\}$ không có dãy con $p$ phần tử nào tạo thành cấp số cộng.

Chứng minh rằng $\forall \,\, n, \, a_n$ nhân được bằng cách viết $n$ dưới dạng cơ số $p-1$ nhưng lại đọc trong cơ số $p$


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 675 Bài viết

Gọi $X$ là tập hợp gồm các phần tử $x_1<x_2<x_3<\dots$, trong đó $x_n$ nhận được bằng cách viết $n$ dưới dạng cơ số $p-1$ và đọc trong cơ số $p$. Ta có các nhận xét sau

  1. Với $x$ có biểu diễn trong hệ cơ số $p$ là $\overline{b_1b_2\dots b_k}_{(p)}$ thì $x\in X\iff 0\le b_i<p-1$ với mọi $i=\overline{1,k}$.
  2. Với mọi $y\notin X$ thì luôn tồn tại $y^*>0$ sao cho $y-y^*,\ y-2y^*,\ \dots,\ y-(p-1)y^*$ đều thuộc $X$.
  3. $X$ không chứa một dãy con $p$ phần tử nào tạo thành cấp số cộng (CSC).

 

Quay lại bài toán. Chứng minh bằng quy nạp, giả sử $a_k=x_k$ với mọi $k\le n$. Khi đó $a_{n+1}$ là số nhỏ nhất lớn hơn $x_n$ thỏa mãn điều kiện $(\ast)$ như sau: $\{x_1,x_2,\dots,x_n,a_{n+1}\}$ không chứa một dãy con $p$ phần tử nào tạo thành CSC.

  • Sử dụng nhận xét 2 suy ra $a_{n+1}\in X$, vì thuộc $X$ nên $a_{n+1}\ge x_{n+1}$.
  • Theo nhận xét 3 thì $x_{n+1}$ thỏa mãn điều kiện $(\ast)$, do đó $a_{n+1}=x_{n+1}$.

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh