Chủ đề này có 1 trả lời

[BoFaKe]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoã mãn $x^2+8y^2+9z^2 \leq 4xyz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P=\frac {4x+2y^2+z^3}{\sqrt{6\left ( 36y-11\sqrt{2z} \right )}-11x}$

 

 

[hoangkkk]

Bài này mình có đưa lên Mathlinks và đã có người giải :

Let $x$, $y$, $z$ be non-negative numbers such that $x^2+8y^2+9z^2 \leq 4xyz$. Find min :
\[P=\frac{4x+2y^2+z^3}{\sqrt{6(36y-11\sqrt{2z})}-11x}\]

Solution

We have \[(x-3z)^2+8y^2+6xz\le 4xyz\Rightarrow 0< 8y^2 \le 2xz(2y-3)-(x-3z)^2 \le 2xz(2y-3)\Rightarrow y>\frac{3}{2}\]

On the other hand $4xy \ge \frac{x^2}{y}+4y+\frac{9z^2}{y}+4y\ge 8\sqrt{3xz}\Rightarrow xz\ge 12$

We have: \[VT=\frac{4x+2y^2+z^3+8+8-16}{\sqrt{216y-11(3\sqrt{2z}+3\sqrt{2z}+x)}}\ge \frac{4x+12z+2y^2-16}{\sqrt{216y-33\sqrt[3]{18xz}}}\ge \frac{2y^2+32}{\sqrt{216y-198}}\]

\[F(y)=\frac{2y^2+32}{\sqrt{216y-198}}; (y>\frac{3}{2})\]

We have $F'(y)=0 \iff y=3$

$\Rightarrow Min P=\frac{5\sqrt{2}}{3}$

Equality occurs for $x=6;y=3;z=2$ .