Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * - 1 Bình chọn

CM với mỗi $\alpha>0$,số giá trị của $k$ luôn bé hơn $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{\alpha}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 13-06-2013 - 18:21

Bài toán: Cho $a_1;a_2;...;a_n$ là dãy các số nguyên không âm. Với $k=1,2,....,n$,đặt $ m_k =\max_{1\le l\le k}\frac{a_{k-l+1}+a_{k-l+2}+\cdots+a_k}{l}. $

Chứng minh rằng với mỗi $\alpha>0$,số giá trị của $k$ thỏa mãn $m_k>\alpha$ luôn bé hơn $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{\alpha}$

 


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nothingness
  • Sở thích:unknown

Đã gửi 11-09-2017 - 18:39

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp mạnh theo $n$. Trước hết hãy cố định $\alpha$. Với $n=1$, xét 2 trường hợp:

 

Nếu $a_1>\alpha$ thì khi đó có đúng một giá trị $m_1$ thỏa $m_1>\alpha$ và do đó số giá trị này bé hơn $\frac{a_1}{\alpha}>1$.

 

Nếu $a_1\leq \alpha$ thì khi đó số giá trị $k$ thỏa $m_k>\alpha$ là $0<\frac{a_1}{\alpha}$.

 

Vậy giả thiết đúng với $n=1$, giả sử giả thiết đúng với mọi $1\leq k\leq n-1$. Ta sẽ chứng minh giả thiết đúng với $k=n$. Ta sẽ có hai trường hợp cho $m_n$ như sau:

TH1: $m_n\leq \alpha$ khi đó số giá trị $k$ ($1\leq k\leq n$) mà $m_k>\alpha$ bằng số giá trị $k$ ($1\leq k\leq n-1$) mà $m_k>\alpha$ và số giá trị này bé hơn $\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{\alpha}\leq \frac{a_1+a_2+...+a_n}{\alpha }$. (đúng)

TH2: $m_n>\alpha$ khi đó gọi $1\leq j\leq n$ là số thỏa $a_j+a_{j+1}+...+a_n>(n-j+1)\alpha$. Rõ ràng số các số $k$ ($1\leq k\leq n$) để $m_k>\alpha$ bằng tổng số các số $i$ ($1\leq i\leq j-1$) để $a_i>\alpha$ và tổng số các số $i$ ($j\leq i\leq n$) để $a_j>\alpha$. Theo giả thiết quy nạp thì tổng số các số này bé hơn

$\frac{a_1+a_2+..+a_{j-1}}{\alpha }+n-k+1< \frac{a_1+a_2+..+a_{j-1}}{\alpha }+\frac{a_j+a_{j+1}+...+a_n}{\alpha }=\frac{a_1+a_2+..+a_n}{\alpha }$ . (đúng)

 Vậy theo giả thiết quy nạp bài toán được chứng minh.


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#3 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Đã gửi 26-07-2019 - 09:49

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp mạnh theo nn. Trước hết hãy cố định αα. Với n=1n=1, xét 2 trường hợp:

 

Nếu a1>αa1>α thì khi đó có đúng một giá trị m1m1 thỏa m1>αm1>α và do đó số giá trị này bé hơn a1α>1a1α>1.

 

Nếu a1αa1≤α thì khi đó số giá trị kk thỏa mk>αmk>α là 0<a1α0<a1α.

 

Vậy giả thiết đúng với n=1n=1, giả sử giả thiết đúng với mọi 1kn11≤k≤n−1. Ta sẽ chứng minh giả thiết đúng với k=nk=n. Ta sẽ có hai trường hợp cho mnmn như sau:

TH1: mnαmn≤α khi đó số giá trị kk (1kn1≤k≤n) mà mk>αmk>α bằng số giá trị kk (1kn11≤k≤n−1) mà mk>αmk>α và số giá trị này bé hơn a1+a2+...+an1αa1+a2+...+anαa1+a2+...+an−1α≤a1+a2+...+anα. (đúng)

TH2: mn>αmn>α khi đó gọi 1jn1≤j≤n là số thỏa aj+aj+1+...+an>(nj+1)αaj+aj+1+...+an>(n−j+1)α. Rõ ràng số các số kk (1kn1≤k≤n) để mk>αmk>α bằng tổng số các số ii (1ij11≤i≤j−1) để ai>αai>α và tổng số các số ii (jinj≤i≤n) để aj>αaj>α. Theo giả thiết quy nạp thì tổng số các số này bé hơn

a1+a2+..+aj1α+nk+1<a1+a2+..+aj1α+aj+aj+1+...+anα=a1+a2+..+anαa1+a2+..+aj−1α+n−k+1<a1+a2+..+aj−1α+aj+aj+1+...+anα=a1+a2+..+anα

 

 

 




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh