Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm hàm số $f: R^+ \to R^+; f(a x^x+b)=a (f(x))^x +b$ với $a,b \in \mathbb{N}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Dialga Palkia

Dialga Palkia

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 15-06-2013 - 22:16

Tìm hàm số $f: R^+ \to R^+; f(a x^x+b)=a (f(x))^x +b$  với $a,b \in \mathbb{N}$



#2 thjiuyghjiuytgjkiutghj

thjiuyghjiuytgjkiutghj

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP.HCM

Đã gửi 03-06-2018 - 00:11

Tìm hàm số $f: R^+ \to R^+; f(a x^x+b)=a (f(x))^x +b$  với $a,b \in \mathbb{N}$

 

Thế $a=0,b=1$ vào hàm số ta được $:$ $f(0.x^{x}+1)=0.(f(x))^{x}+1 \Leftrightarrow f(1)=1$

Chọn $p,q \in \mathbb{R}^{+}$ và $n \in \mathbb{N}$ sao cho $n=p^{p}-q^{q}$

Thế $x=p,a=1,b=0$ vào hàm số ta được $:$ $f(1.p^{p}+0)=1.(f(p))^{p}+0 \Leftrightarrow f(p^{p})=(f(p))^{p}$ $(1)$

Tiếp tục thế $x=q,a=1,b=n$ vào hàm số ta được $:$ $f(1.q^{q}+n)=1.(f(q))^{q}+n \Leftrightarrow f(q^{q}+n)=(f(q))^{q}+n$ $(2)$

Lại có $:$ $n=p^{p}-q^{q} \Leftrightarrow p^{p}=n+q^{q} \Rightarrow f(p^{p})=f(q^{q}+n)$ $(3)$

$(1)(2)(3) \Rightarrow (f(p))^{p}= (f(q))^{q}+n$

Từ đó cho $p=1$$,$ ta được $:$ $(f(q))^{q}+n=(f(1))^{1}=f(1)=1 \Leftrightarrow (f(q))^{q}=1-n$ $(*)$

Từ $p=1$$,$ ta lại có $:$ $n= p^{p}-q^{q}= 1^{1}-q^{q}=1-q^{q} \Leftrightarrow q^{q}=1-n$ $(**)$

$(*)(**) \Rightarrow (f(q))^{q}= q^{q} \Rightarrow f(q)=q$ hay $\boxed{f(x)=x}$

Thử lại thấy thỏa mãn$.$ Vậy đó là hàm số duy nhất cần phải tìm$.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thjiuyghjiuytgjkiutghj: 03-06-2018 - 00:21


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 06-06-2018 - 08:03

(...)

Chọn $p,q \in \mathbb{R}^{+}$ và $n \in \mathbb{N}$ sao cho $n=p^{p}-q^{q}$

(...)

Từ đó cho $p=1$$,$ ta được $:$ $(f(q))^{q}+n=(f(1))^{1}=f(1)=1 \Leftrightarrow (f(q))^{q}=1-n$ $(*)$

Từ $p=1$$,$ ta lại có $:$ $n= p^{p}-q^{q}= 1^{1}-q^{q}=1-q^{q} \Leftrightarrow q^{q}=1-n$ $(**)$

$(*)(**) \Rightarrow (f(q))^{q}= q^{q} \Rightarrow f(q)=q$ hay $\boxed{f(x)=x}$

Thử lại thấy thỏa mãn$.$ Vậy đó là hàm số duy nhất cần phải tìm$.$

Chọn $p,q\in \mathbb{R}^+$ sao cho $n=p^p-q^q$ thì $n$ phải nguyên dương (vì nếu $n=0$) thì cuối cùng cũng chỉ tìm được $f(1)=1$)

Còn ở đoạn cuối nên sửa lại thế này :

Cho $q=1$ $\Rightarrow (f(p))^p=1+n$ $(*)$

Mặt khác $q=1\Rightarrow p^p=1+n$ $(**)$

$(*)$,$(**)$ $\Rightarrow f(p)=p$ hay $f(x)=x$

 

Nhưng cách làm như trên chỉ tìm được $f(p)=p$ với các số $p$ không nguyên và thỏa mãn $p^p$ là số nguyên lớn hơn $1$. Còn với các số $p$ không nguyên và không thỏa mãn điều kiện trên thì chưa chứng minh được $f(p)=p$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4 thjiuyghjiuytgjkiutghj

thjiuyghjiuytgjkiutghj

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP.HCM

Đã gửi 06-06-2018 - 12:15

Chọn $p,q\in \mathbb{R}^+$ sao cho $n=p^p-q^q$ thì $n$ phải nguyên dương (vì nếu $n=0$) thì cuối cùng cũng chỉ tìm được $f(1)=1$)

Còn ở đoạn cuối nên sửa lại thế này :

Cho $q=1$ $\Rightarrow (f(p))^p=1+n$ $(*)$

Mặt khác $q=1\Rightarrow p^p=1+n$ $(**)$

$(*)$,$(**)$ $\Rightarrow f(p)=p$ hay $f(x)=x$

 

Nhưng cách làm như trên chỉ tìm được $f(p)=p$ với các số $p$ không nguyên và thỏa mãn $p^p$ là số nguyên lớn hơn $1$. Còn với các số $p$ không nguyên và không thỏa mãn điều kiện trên thì chưa chứng minh được $f(p)=p$.

 

Mình chọn $p \in \mathbb{R}^{+}$ mà nên $f(p)=p$ cũng đồng nghĩa với $f(x)=x$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thjiuyghjiuytgjkiutghj: 06-06-2018 - 12:15


#5 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 06-06-2018 - 17:12

Mình chọn $p \in \mathbb{R}^{+}$ mà nên $f(p)=p$ cũng đồng nghĩa với $f(x)=x$

Nhưng mà lúc đầu bạn chọn $p,q\in \mathbb{R}^+$ sao cho $n=p^p-q^q$ (với $n$ nguyên dương)

Sau đó lại cho $q=1$, vậy thì chỉ tính được $f(p)$ trong đó $p$ là số thực thỏa mãn $n=p^p-1$ hay $p^p=1+n$ (nói cách khác $p^p$ là số nguyên lớn hơn $1$). Còn nếu $p^p$ không nguyên thì chưa tính được $f(p)$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 06-06-2018 - 20:33

Tìm hàm số $f: R^+ \to R^+; f(a x^x+b)=a (f(x))^x +b$  với $a,b \in \mathbb{N}$

Trước hết, ta xây dựng hàm $g$ như sau : $\left\{\begin{matrix}g(x)=f(x),\forall x\in \mathbb{R}^+\\g(0)=0 \end{matrix}\right.$

Như vậy hàm $g$ chỉ khác hàm $f$ ở chỗ $g(0)=0$, còn $f(0)$ thì không xác định. Ta tìm công thức của hàm $g$ khi $x\in \mathbb{R}^+$

a) Nếu $x\in \mathbb{N}^*$ :

  Ta có : $g(ax^x+b)=a(f(x))^x+b\Rightarrow g(b)=b$ ($b\in \mathbb{N}$)

  Vậy nếu $x\in \mathbb{N}^*$ thì ta có $g(x)=x$

b) Nếu $x\in \mathbb{R}^+$ và $x\notin \mathbb{N}^*$ :

  Trên khoảng $(b;b+1)$ ($b$ là số tự nhiên bất kỳ), ta lấy $m$ điểm như sau :

   $t_1=b+\alpha =b+x^x$

   $t_2=b+2\alpha =b+2x^x$

   ..............................

   $t_m=b+m\alpha =b+mx^x$

   (trong đó $\alpha$ và $x$ là các số thực dương thỏa mãn $m\alpha =mx^x< 1\leqslant (m+1)x^x$)

  

   Với mọi $k$ ($1\leqslant k\leqslant m-1$), ta có :

   $g(t_k)=g(b+kx^x)=k(g(x))^x+b$

   $g(t_{k+1})=g(b+(k+1)x^x)=(k+1)(g(x))^x+b$

   $\frac{g(t_{k+1}-g(t_k))}{t_{k+1}-t_k}=\frac{(g(x))^x}{x^x}=\frac{g(x^x)}{x^x}=\frac{g(\alpha )}{\alpha }=$ hằng số với mọi $k$ từ $1$ đến m-1

   Cho $\alpha =x^x$ tiến đến $0$ (khi đó $m$ tiến đến vô cùng), ta có :

   $g'(t_k)=\lim_{\alpha \to0}\frac{g(t_{k+1})-g(t_k)}{t_{k+1}-t_k}=\lim_{\alpha \to0}\frac{g(\alpha )}{\alpha }=\lim_{\alpha \to0}\frac{g(\alpha )-g(0)}{\alpha -0}=g'(0^+)=$ hằng số với mọi $t_k$

   hay $g'(t)=$ hằng số, với mọi $t\in (b;b+1)$ (vì khi đó $m$ tiến đến vô cùng, mà giới hạn trên bằng hằng số với mọi $t_k$, tức là với mọi $t\in (b;b+1)$)

   $\Rightarrow g(x)$ có dạng $Mx+N$

   $\Rightarrow M(ax^x+b)+N=a(Mx+N)^x+b$

   Cân bằng hệ số suy ra $M=1$ ; $N=0$ $\Rightarrow g(x)=x$

 

Vậy với mọi $x\in \mathbb{R}^+$, ta có $g(x)=x$ và $f(x)=x$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 07-06-2018 - 06:44

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh