Chủ đề này có 2 trả lời

[huynhviectrung]

Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2,chứng minh rằng đa thức $P\left ( x \right )= x^{n}+29x^{n-1}+2009$ không thể phân tích thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.

 

 

[Ispectorgadget]

Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2,chứng minh rằng đa thức $P\left ( x \right )= x^{n}+29x^{n-1}+2009$ không thể phân tích thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.

Lời giải của anh Phudinhgioihan

 

Ta có bổ đề sau đây, khá quan trọng khi kiểm tra tính nguyên tố của đa thức hệ số nguyên.

Với $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên bậc $\ge 1$, nếu tồn tại số nguyên $m$ sao cho

Các nghiệm của $P(x)=0$ đều thuộc mặt phẳng $Re z <m-\frac{1}{2}$ ( vì có thể nghiệm phức)

ii)$P(m-1) \neq 0$

iii) $P(m)$ là số nguyên tố

Khi đó $P(x)$ là đa thức bất khả quy (không thể phân tích thành tích hai đa thức khác đa thức hằng)

Chứng minh:

Giả sử $P(x)=f(x).g(x)$ với $f(x),g(x)$ là hai đa thức hệ số nguyên bậc $\ge 1$

Do các nghiệm của $P(x)$ đều thuộc mp $Re z <m-\frac{1}{2}$ nên các nghiệm của $f(x)$ cũng vậy

 $$\Rightarrow |f(m-\frac{1}{2}-t)| < |f(m-\frac{1}{2}+t)| \; \forall t>0$$

Chọn $t=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow |f(m-1)|<|f(m)|$

Do $P(m-1) \neq 0$ nên $f(m-1) \neq 0$ => $|f(m-1)| \ge 1$

$\Rightarrow f(m)>1$

Tương tự vậy ta cũng có $g(m)>1$

Nhưng $P(m)$ là số nguyên tố nên có mâu thuẫn !

Vậy phải có $P(x)$ là bất khả quy.

Trở lại bài toán của ta

Ta thấy $f(1)=2029$ là số nguyên tố , $f(0)=2009$

nhưng các không điểm của $f(x)$ không thoả mãn đk i), nhưng ta có thể sử dụng ý tưởng trong chứng minh bổ đề trên

Ta có thể dễ dàng kiểm chứng rằng

$$f(\frac{1}{2}+x) > |f(\frac{1}{2}-x)| \; \forall x >0$$

Vì $(\frac{1}{2}+x)^n>|\frac{1}{2}-x|^n \; \forall n \ge 1 , x>0$

Vậy lập luận như trong phần chứng minh bổ đề ta có đpcm.

 

Spoiler

Bài này cũng có thể dùng tiêu chuẩn Eisenstein

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-07-2013 - 22:36

[mathforlife]

Bổ đề:

Giả sử $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n \in Z[x]$

$p \in P$ thoả mãn: $a_2,a_3,...,a_n\vdots p$, $a_0$ không chia hết cho $p$, $a_n$ không chia hết cho $p^2$

Khi đó, nếu $f(x)$ khả quy trong $Z[x]$, tức $f(x)=g(x)h(x)$ thì $min(deg g, deg h)=1$

Từ đó, f(x) có nghiệm hữu tỉ.

 

Áp dụng bài toán với $p=41$. Do lúc này $a_0=1$ nên nghiệm hữu tỉ là nghiệm nguyên. Mặt khác $\forall x \in Z, x^n + 29x^{n-1}+2009$ lẻ nên không thể là nghiệm đã thức. Vậy đa thức đã cho bkq.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathforlife: 04-07-2013 - 12:46