Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $x^{2}-4xy+6y^{2}+2x\geqslant 6$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Cho x, y > 0 thỏa mãn $\frac{4}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=2$. Chứng minh rằng $x^{2}-4xy+6y^{2}+2x\geqslant 6$



#2
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Cho x, y > 0 thỏa mãn $\frac{4}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=2$. Chứng minh rằng $x^{2}-4xy+6y^{2}+2x\geqslant 6$

Ta có:$x^{2}-4xy+6y^{2}+2x+4=(x-2y)^{2}+2y^{2}+2x+\frac{8}{x^{2}}+\frac{2}{y^{2}}=(x-2y)^{2}+(x+x+\frac{8}{x^{2}})+(2y^{2}+\frac{2}{y^{2}})\geq 0+6+4=10\Rightarrow x^{2}-4xy+6y^{2}+2x\geq 10-4=6$.

Dấu bằng xảy ra khi x=2 và y=1.


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#3
binvippro

binvippro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 193 Bài viết

$ x^2-4xy+6y^2+2x= \left ( x^2-4xy+4y^2 \right )+2y^2+2x\geq 2y^2+2x$

Đặt P=$ x+y^2$

Ta có: P=$ \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+y^2\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{2}x.\frac{1}{2}x.y^2}$

$ P^3= 27.\frac{1}{4}x^2y^2=\frac{27}{4}x^2y^2= \frac{27}{16}x^2y^2\left ( \frac{4}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right )^2\geq \frac{27}{16}x^2y^2.\frac{16}{x^2y^2}= 27$

Suy ra P$ \geq 3$ nên 2P$ \geq 6$ suy ra đpcm



#4
binvippro

binvippro

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 193 Bài viết

dấu = xảy ra khi x=2 y=1



#5
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Cảm ơn các bạn nhé



#6
toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết
Hay

#7
toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết
Tìm max của $A=\frac{a-b+1}{ab-a} $ với a,b dương.Giúp tý anh em

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanhoc2017: 23-04-2019 - 21:11





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh