Bài 22: Cho $a,b,c$ là $3$ số dương thỏa mãn: $a+b-c \geq 0, b+c-a \geq 0, c+a-b \geq 0, (a+b+c)^2=4(ab+bc+ca-1)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S= \sqrt{ \dfrac{b+a}{c}-1}+ \sqrt{ \dfrac{a+c}{b}-1}+ \sqrt{ \dfrac{c+b}{a}-1}+ \dfrac{2 \sqrt{2}}{ \sqrt{a^2+b^2+c^2-2}}$.
(Đề thi thử trường THPT Nguyến Khuyến)
Ta có:
$S= \sqrt{ \dfrac{b+a}{c}-1}+ \sqrt{ \dfrac{a+c}{b}-1}+ \sqrt{ \dfrac{c+b}{a}-1}+ \dfrac{2 \sqrt{2}}{ \sqrt{a^2+b^2+c^2-2}}$.
$\geq 3\sqrt[6]{\frac{(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)}{abc}}+\dfrac{2 \sqrt{2}}{ \sqrt{a^2+b^2+c^2-2}}$
$=3\sqrt[6]{\frac{-(a+b+c)^{3}+4(ab+bc+ca)(a+b+c)-8abc}{abc}}+\dfrac{2 \sqrt{2}}{ \sqrt{(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)-2}}$
Theo giả thiết: $(a+b+c)^2=4(ab+bc+ca-1)$.$\Leftrightarrow ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^{2}+4}{4}$. Thay vào, ta được:
$S=3\sqrt[6]{\frac{4(a+b+c)}{abc}-8}+\frac{4}{\sqrt{(a+b+c)^{2}-5}}$
$\geq \sqrt[6]{\frac{27.4}{(a+b+c)^{2}}-8}+\frac{4}{\sqrt{(a+b+c)^{2}-5}}$
Đặt $(a+b+c)^{2}=t, 5< t\leq \frac{27}{2}$
Khi đó: $S=f(t)=3\sqrt[6]{\frac{108}{t}-8}+\frac{4}{\sqrt{t-5}}$
Dễ thấy $\underset{t \in (5;\frac{27}{2}]}{f(t)}\geq f(\frac{27}{2})=\frac{4\sqrt{34}}{17}$
Vậy $minS=\frac{4\sqrt{34}}{17}$, đạt được khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Không biết đúng chưa? 
Visit my 
