Thêm 1 bài nữa
Bài 17:Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+2abc=1$. Chứng minh rằng:
$a^2+b^2+c^2\geq 4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
(Đề thi thử trường ĐHKHTN, ĐHQGHN lần 1 năm học 2012-2013)
Cách sử dụng lượng giác:
Với giả thiết đã cho luôn tồn tại một tam giác nhọn $ABC$ sao cho $a=cosA, b=cosB, c=cosC$ khi ấy ta có:
$cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C+2cosAcosBcosC=1$
và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại:
$cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C\geq 4(cos^{2}Acos^{2}B+cos^{2}Bcos^{2}C+cos^{2}Ccos^{2}A)$
Nhận thấy: $cos^{2}A=cot^{2}A.sin^{2}A=\frac{cot^{2}A}{cot^{2}A+1}$
Đặt: $x=cotA, y=cotB, z=cotC$ thì bất đẳng thức trên được viết lại:
$\frac{x^{2}}{x^{2}+1}+\frac{y^{2}}{y^{2}+1}+\frac{z^{2}}{z^{2}+1}\geq 4\left ( \frac{x^{2}y^{2}}{(x^{2}+1)(y^{2}+1)}+\frac{y^{2}z^{2}}{(y^{2}+1)(z^{2}+1)}+\frac{z^{2}x^{2}}{(z^{2}+1)(x^{2}+1)} \right )$ $(1)$
và ta có giả thiết mới: $xy+yz+zx=1$, và $x^{2}+1=(x+y)(x+z)$
Bất đẳng thức $(1)$ được viết lại dưới dạng:
$\frac{x^{2}}{(x+y)(x+z)}+\frac{y^{2}}{(y+z)(y+x)}+\frac{z^{2}}{(z+x)(z+y)}\geq 4\left ( \frac{x^{2}y^{2}}{(x+y)^{2}(y+z)(z+x)}+\frac{y^{2}z^{2}}{(y+z)^{2}(x+y)(z+x)}+\frac{z^{2}x^{2}}{(z+x)^{2}(x+y)(y+z)} \right )$
$\Leftrightarrow x^{2}(y+z)+y^{2}(z+x)+z^{2}(x+y)\geq 4\left ( \frac{x^{2}y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}x^{2}}{z+x} \right )$
Đến đây, sử dụng Cauchy - Schwarz ta có: $\frac{4x^{2}y^{2}}{x+y}\leq \frac{x^{2}y^{2}}{x}+\frac{x^{2}y^{2}}{y}$ và tương tự rồi cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có đpcm