Chủ đề này có 6 trả lời

[phatthemkem]

Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn $x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=67(xyz)^{-1}$

Chứng minh rằng

$$\frac{x}{x^2-yz+201}+\frac{y}{y^2-xz+201}+\frac{z}{z^2-xy+201}\geq (x+y+z)^{-1}$$

[hoangvtvpvn]

bài này dùng svacxơ

[phatthemkem]

bài này dùng svacxơ

Đó là bất đẳng thức gì vậy bạn?

[DarkBlood]

Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn $x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=67(xyz)^{-1}$

Chứng minh rằng

$$\frac{x}{x^2-yz+201}+\frac{y}{y^2-xz+201}+\frac{z}{z^2-xy+201}\geq (x+y+z)^{-1}$$

Từ giả thiết suy ra $3xy+3yz+3zx=201$

 

Ta có:

$$\sum\dfrac{x}{x^2-yz+201}=\sum \dfrac{x^2}{x^2(x+y+z)+x(2xy+2yz+2zx)}$$

Áp dụng bất đẳng thức $C-S,$ ta có:

$$\sum \dfrac{x^2}{x^2(x+y+z)+x(2xy+2yz+2zx)}\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)+(x+y+z)(2xy+2yz+2zx)}=\dfrac{1}{x+y+z}$$

Vậy $\sum \dfrac{x}{x^2-yz+201}\geq \dfrac{1}{x+y+z}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{\sqrt{201}}{3}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 20-06-2013 - 21:22

[mathpro9x]

Đó là bất đẳng thức gì vậy bạn?

BĐT svacxơ:

 

$\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b} +\frac{z^{2}}{c}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{a+b+c}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathpro9x: 20-06-2013 - 21:38

[datcoi961999]

BĐT svacxơ:

 

$\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b} +\frac{z^{2}}{c}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{a+b+c}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}$

đây cũng là bất đẳng thức Bunhiacopski dạng phân thức đó bạn!

[KietLW9]

Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn $x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=67(xyz)^{-1}$

Chứng minh rằng

$$\frac{x}{x^2-yz+201}+\frac{y}{y^2-xz+201}+\frac{z}{z^2-xy+201}\geq (x+y+z)^{-1}$$

Từ giả thiết suy ra $xy+yz+zx=67$

Áp dụng Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: $\frac{x}{x^2-yz+201}+\frac{y}{y^2-xz+201}+\frac{z}{z^2-xy+201}=\frac{x^2}{x^3-xyz+201x}+\frac{y^2}{y^3-xyz+201y}+\frac{z^2}{z^3-xyz+201z}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{(x^3+y^3+z^3-3xyz)+201(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+201(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^3}=(x+y+z)^{-1}(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{\frac{67}{3}}$