Bài toán:Cho tam giác $ABC$.$(AB<AC)$.$D$ cố định trên $BC$. Một điểm $P$ di động trên $AD$, điểm $E$ trên $BC$ thỏa mãn hệ thức
$$\frac{EC}{EB}=\frac{PD}{PA}+\frac{DB.DC}{AP.AD}$$
Gọi $F$ là giao điểm của $(ABP)$ và $AC$ khác $A$. Đường tròn $(CEF)$ cắt đường tròn $(O)$ tại $G$ khác $C$.
Chứng minh rằng khi $P$ di chuyển trên $AD$ thì $EG$ luôn đi qua một điểm cố định.
(Kiểm tra đội tuyển IMO)
Gọi $D_1$ là giao điểm của $AP$ với đường tròn $(O)$ và $D_2$ là điểm trên cung $BC$ (không chứa $A$) sao cho góc $BAD_2$ bằng góc $CAD_1$. Gọi $G_1$ là giao điểm của $EG$ với đường tròn $(O)$.
Những điều sau đây là dễ thấy:
1). $\frac{PD_1}{PA}=\frac{EC}{EB}$,
2). $EF$ song song với $AG_1$.
Điều sau đây là dễ thấy bằng trực giác nhưng KHÓ chứng minh:
3). $D_2=G_1$ là điểm cố định cần tìm.
Sau đây là lời giải sử dụng số phức. Giả sử đường tròn có bán kính $1$ và $O$ là góc toạ độ. Cũng có thể xem $A=1$. Gọi toạ độ các điểm khác là các chữ nhỏ (A= a=1, B=b, D_1=d,....). Ở đây mình ký hiệu $D_1=d$ cho gọn, vì mình không dùng dến toạ độ của $D$. Ta cần chứng minh góc giữa $EF$ và $AB$ bằng với góc giữa $AD_1$ và $AC$, tức là
$$\frac{(e-f)(d-1)}{(b-1)(c-1)}\in \mathbb{R}. (4)$$
Theo đề bài thì $ABPF$ nằm trên cùng một đường tròn. Do đó
$$\frac{(d-1)(f-b)}{(c-1)(p-b)}\in \mathbb{R}. (5)$$
Ta chọn $r,s\in \mathbb{R}$ sao cho
$$f=s+(1-s)c, \ p=r+(1-r)d, \ e=rb +(1-r) c.$$
Khi đó (5) tương đương với
$$Y=(d-1)(s+(1-s)c-b)(\bar{c}-1)(r+(1-r)\bar{d}-\bar{b})\in \mathbb{R}.$$
Và (4) tương đương với
$$ X=(d-1)(rb-s+(s-r)c)(\bar{b}-1)(\bar{c}-1) \in \mathbb{R}. $$
Ta có thể rút gọn để thu được đẳng thức sau đây:
$$X-Y=s(1-r)|c-1|^2|d-1|^2 + (1-r)(d-1)(b-c)(\bar{c}-1)(\bar{b}-\bar{d}).$$
Số hạng cuối cùng là số thực bởi vì $ABCD_1$ nằm trên $(O)$. Do $X\in \mathbb{R}$ nên $Y$ cũng là số thực. Điều đó chứng tỏ góc giữa $AB$ và $AD_2$ bằng góc giữa $AB$ và $AG_1$, tức là $G_1=D_2$.
Comments: Ở trên, mình sử dụng sự kiện là
Góc ABC = Góc XYZ khi và chỉ khi $\frac{(a-b)(y-z)}{(b-c)(x-y)}\in \mathbb{R}.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChinhLu: 22-07-2014 - 08:12