Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh $EG$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ di động trên $AD$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 nguyenthehoan

nguyenthehoan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 392 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUS_High School For Gift Students
  • Sở thích:GEOMETRY

Đã gửi 21-06-2013 - 00:18

Bài toán:Cho tam giác $ABC$.$(AB<AC)$.$D$ cố định trên $BC$. Một điểm $P$ di động trên $AD$, điểm $E$ trên $BC$ thỏa mãn hệ thức

$$\frac{EC}{EB}=\frac{PD}{PA}+\frac{DB.DC}{AP.AD}$$

Gọi $F$ là giao điểm của $(ABP)$ và $AC$ khác  $A$. Đường tròn $(CEF)$ cắt đường tròn $(O)$ tại $G$ khác $C$.

Chứng minh rằng khi $P$ di chuyển trên $AD$ thì $EG$ luôn đi qua một điểm cố định.

                                                                                (Kiểm tra đội tuyển IMO)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 21-07-2014 - 16:51


#2 ChinhLu

ChinhLu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Pisa Italy
  • Sở thích:Football, chess

Đã gửi 22-07-2014 - 07:56

Bài toán:Cho tam giác $ABC$.$(AB<AC)$.$D$ cố định trên $BC$. Một điểm $P$ di động trên $AD$, điểm $E$ trên $BC$ thỏa mãn hệ thức

$$\frac{EC}{EB}=\frac{PD}{PA}+\frac{DB.DC}{AP.AD}$$

Gọi $F$ là giao điểm của $(ABP)$ và $AC$ khác  $A$. Đường tròn $(CEF)$ cắt đường tròn $(O)$ tại $G$ khác $C$.

Chứng minh rằng khi $P$ di chuyển trên $AD$ thì $EG$ luôn đi qua một điểm cố định.

                                                                                (Kiểm tra đội tuyển IMO)

Gọi $D_1$ là giao điểm của $AP$ với đường tròn $(O)$ và $D_2$ là điểm trên cung $BC$ (không chứa $A$) sao cho góc $BAD_2$ bằng góc $CAD_1$. Gọi $G_1$ là giao điểm của $EG$ với đường tròn $(O)$.

Những điều sau đây là dễ thấy:

 

1). $\frac{PD_1}{PA}=\frac{EC}{EB}$,

 

2). $EF$ song song với $AG_1$.

 

Điều sau đây là dễ thấy bằng trực giác nhưng KHÓ chứng minh:

 

3). $D_2=G_1$ là điểm cố định cần tìm. 

 

Sau đây là lời giải sử dụng số phức. Giả sử đường tròn có bán kính $1$ và $O$ là góc toạ độ. Cũng có thể xem $A=1$. Gọi toạ độ các điểm khác là các chữ nhỏ (A= a=1, B=b, D_1=d,....). Ở đây mình ký hiệu $D_1=d$ cho gọn, vì mình không dùng dến toạ độ của $D$. Ta cần chứng minh góc giữa $EF$ và $AB$ bằng với góc giữa $AD_1$ và $AC$, tức là 

$$\frac{(e-f)(d-1)}{(b-1)(c-1)}\in \mathbb{R}.  (4)$$

Theo đề bài thì $ABPF$ nằm trên cùng một đường tròn. Do đó 

$$\frac{(d-1)(f-b)}{(c-1)(p-b)}\in \mathbb{R}. (5)$$

Ta chọn $r,s\in \mathbb{R}$ sao cho

$$f=s+(1-s)c, \ p=r+(1-r)d, \ e=rb +(1-r) c.$$

Khi đó (5) tương đương với

$$Y=(d-1)(s+(1-s)c-b)(\bar{c}-1)(r+(1-r)\bar{d}-\bar{b})\in \mathbb{R}.$$

Và (4) tương đương với 

$$ X=(d-1)(rb-s+(s-r)c)(\bar{b}-1)(\bar{c}-1) \in \mathbb{R}. $$

Ta có thể rút gọn để thu được đẳng thức sau đây:

$$X-Y=s(1-r)|c-1|^2|d-1|^2 + (1-r)(d-1)(b-c)(\bar{c}-1)(\bar{b}-\bar{d}).$$

Số hạng cuối cùng là số thực bởi vì $ABCD_1$ nằm trên $(O)$. Do $X\in \mathbb{R}$ nên $Y$ cũng là số thực. Điều đó chứng tỏ góc giữa $AB$ và $AD_2$ bằng góc giữa $AB$ và $AG_1$, tức là $G_1=D_2$.

 

Comments: Ở trên, mình sử dụng sự kiện là 

 

Góc ABC = Góc XYZ khi và chỉ khi $\frac{(a-b)(y-z)}{(b-c)(x-y)}\in \mathbb{R}.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChinhLu: 22-07-2014 - 08:12


#3 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:...

Đã gửi 22-07-2014 - 21:48

h.PNG

 

 

 


Gọi $D_1$ là giao điểm của $AP$ với đường tròn $(O)$ và $D_2$ là điểm trên cung $BC$ (không chứa $A$) sao cho góc $BAD_2$ bằng góc $CAD_1$. Gọi $G_1$ là giao điểm của $EG$ với đường tròn $(O)$.

Những điều sau đây là dễ thấy:

 

1). $\frac{PD_1}{PA}=\frac{EC}{EB}$,

 

2). $EF$ song song với $AG_1$.

 

 

$\Delta PBD_1\sim \Delta FBC$
$\Leftrightarrow \Delta FEC\sim \Delta ABD_1$

 

$\Rightarrow \widehat{BAD_1}=\widehat{G_1AC}$

 

Vậy $AG_1$ đối xứng $AD_1$ qua phân giác $\widehat{BAC}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 22-07-2014 - 21:50





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh