Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $$a^3+b^3+c^3 \geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=2$

Chứng minh rằng 

$$a^3+b^3+c^3 \geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$$


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#2
tuannguyenhue1

tuannguyenhue1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $abc=2$

Chứng minh rằng 

$$a^3+b^3+c^3 \geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$$

bài này có chỉ cần xử lý 1 chỗ là coi như đơn giản $\sum a\sqrt{b+c}\leq \sqrt{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}$ đến đây là khá rõ



#3
hazard

hazard

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

Mình được biết tới 1 lời giải hay khác như thế này:

Ta có: $a^3+b^3 \geq a^2b+b^2a =ab(a+b)$

$\Rightarrow$ $a^3+b^3+2c^3 \geq ab(a+b)+2c^3 \geq 2\sqrt{2abc(a+b)c^2}$=$4c\sqrt{a+b}$

$\Rightarrow$ $\sum (a^3+b^3+2c^3) \geq \sum 4c\sqrt{a+b}$

$\Rightarrow$ $a^3+b^3+c^3 \geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=$\sqrt[3]{2}$

=> đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hazard: 22-06-2013 - 17:20


#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: $(\sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c} )^2\leqslant 2(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)=\prod_{cyc}^{cyc}a(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)\leqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}{3} \leqslant \frac{(a+b+c)^6}{3^4}$

 

$\Rightarrow \sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c}\leq \frac{(a+b+c)^3}{3^2}\leqslant a^3+b^3+c^3$ 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh