Chủ đề này có 5 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c > 0. CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

[25 minutes]

Cho a, b, c > 0. CMR: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

Bất đẳng thức đã cho tương đương với 

       $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3\geqslant \frac{a+b}{b+c}-1+\frac{b+c}{a+b}-1$  (*)

Xét $VP (*)= \frac{a+b}{b+c}-1+\frac{b+c}{a+b}-1=\frac{a-c}{b+c}+\frac{c-a}{a+b}=(a-c)(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+b})=\frac{(a-c)^2}{(a+b)(b+c)}$

Xét $VT (*)$Áp dụng Cauchy-Schwarzt

Ta có $VT (*)=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}-3=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{ab+bc+ac}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{ab+bc+ac}\geqslant \frac{(a-c)^2}{(a+b)(b+c)}$

Rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng do $ab+bc+ac < (a+b)(b+c)$

Kết thúc chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$

[Ngoc Hung]

Cảm ơn Anh nhé

[Tienanh tx]

Cách 1:

$\mathbf{BĐT} \Longleftrightarrow (\dfrac{a}{b}-\dfrac{a}{b+c})+(\dfrac{b}{c}-\dfrac{b}{b+c})+(\dfrac{c}{a}-\dfrac{c}{a+b})\geq \dfrac{b}{a+b}+1$

 

$\Longleftrightarrow$ $\dfrac{ca}{b(b+c)}+\dfrac{b^2}{c(b+c)}+\dfrac{bc}{a(a+b)}\geq \dfrac{a+2b}{a+b}$

$\oplus$ Áp dụng BDT $C-S$, ta có:

$\dfrac{ca}{b(b+c)}+\dfrac{b^2}{c(b+c)}=\dfrac{a}{c(b+c)}(\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{b^2}{a})\geq \dfrac{a}{c(b+c)}\dfrac{(c+b)^2}{b+a}=\dfrac{a(b+c)}{c(a+b)}$

$\oplus$ Ta cần chứng minh:

$\dfrac{a(b+c)}{c}+\dfrac{bc}{a}\geq a+2b\Leftrightarrow \dfrac{b(c-a)^2}{ca}\geq 0$ (đúng)

Dấu $"="$ khi $a=b=c$

 

[Tienanh tx]

Cách 2:

$\oplus$Ta có:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \ge \dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{a+b} +1$

$\Longleftrightarrow \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} +1 \ge \dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{a+b} +1+1$

$\Longleftrightarrow \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} +1 \ge \dfrac{(a+2b+c)^2}{(a+b)(b+c)}$

$\Longleftrightarrow \dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{bc}+\dfrac{c^2}{ca}+ \dfrac{b^2}{b^2} \ge \dfrac{(a+2b+c)^2}{(a+b)(b+c)}$ (luôn đúng với bđt $Cauchy-Schwartz$)

 

$\oplus$Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

 

$\mathbf{Q.E.D}$

 

[KietLW9]

Nhân hai vế của bất đẳng thức với b + c, ta được: $\frac{a(b+c)}{b}+\frac{b(b+c)}{c}+\frac{c(b+c)}{a}\geqslant a+b+\frac{(b+c)^2}{a+b}+b+c$

 

$\Leftrightarrow \frac{ac}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{c^2}{a}\geqslant b+c+\frac{(b+c)^2}{a+b}$

Điều này đúng do: $\frac{c^2}{a}+\frac{b^2}{b}\geqslant\frac{(b+c)^2}{a+b}$

$\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geqslant 2c$

$\frac{b^2}{c}+c \geqslant 2b$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c