Karl Heinrich Marx

Dạo nãy bỗng dưng mình thấy nhớ cái thời học toán nên muốn viết một cái gì đó chia sẻ với các bạn đang học toán. Trước đây mình từng viết một bài chia sẻ rồi và bài này mình muốn chia sẻ ở một góc nhìn khác.

 

Thời cấp 2 thì mình dành thời gian cho toán khá là nhiều, trung bình 5-7 tiếng một ngày để học toán. Lúc đấy thì nhà không có máy tính, không có mạng và chỉ có mỗi 2 cuốn sách của Vũ Hữu Bình làm bạn thôi. Kể ra đó cũng là một điều may mắn, khi mà không có quá nhiều tài liệu thì sẽ phải tự mày mò, tự đặt ra toán để mà làm và nó hình thành cách tư duy của cá nhân mình. Một điều may mắn nữa là không lên mạng thì không biết đến những kì thi như VMO, IMO hay là sự tồn tại của nhiều ngôi sao trên diễn đàn, vì thế không phải cày cuốc những thứ trâu bò để bằng bạn bằng bè. Đối với mình việc làm toán chỉ đơn giản là vì niềm vui và mãi đến sau này nó vẫn vậy. Mục tiêu của việc học toán thì không hẳn làm được càng nhiều bài càng tốt, mình chỉ làm những bài nào mình thấy thích và với một cách giải mình thấy thích thôi  ). Phải thừa nhận 1 điều là kiến thức toán của mình không nhiều, nếu ai để ý sẽ thấy những lời giải mình post gần như chẳng bao giờ dùng định lí hay bổ đề từ bên ngoài vào vì mình không biết nhiều những thứ đấy. Làm một bài toán cũng không nhất thiết phải làm ra, cảm giác mày mò thấy vui là đủ rồi. Có một sự thật là mình chưa từng post một lời giải bài hình nào trên diễn đàn và mình bỏ gần như tất cả các bài hình trong các kì thi mình tham dự, đơn giản vì không thích học hình. Kể linh tinh về bản thân mình đủ rồi, bây giờ chúng ta vào vấn đề chính.

 

Chúng ta đều biết so với thế giới thì người VN học toán khá là giỏi. Tuy nhiên mình nhận thấy là cách tư duy của chúng ta dễ dàng thừa nhận kiến thức để dùng nó như một phương tiện giải toán thay vì thực sự hiểu nguồn gốc và bản chất của mọi thứ. Ví dụ nhiều bạn tính đạo hàm, tích phân rất giỏi, nhưng thực sự có bao nhiêu bạn thời cấp 3 hiểu được ý nghĩa đạo hàm, tích phân là gì và nó sinh ra như thế nào? Tại sao lại đặt tên là đạo hàm và tích phân? Hay lúc cấp 2 được học đồ thị của hàm bậc 2 là Parabol. Vậy các bạn có đặt ra câu hỏi parabol là hình gì và tại sao lại là Parabol? Có rất là nhiều những thứ khác mà chúng ta chẳng bao giờ hỏi tại sao. Và giải quyết những câu hỏi tại sao đó chắc chắn nó chả giúp mấy cho các bạn trong các kì thi đâu, nhưng nó sẽ làm bạn thấy vui và làm bạn nhìn việc làm toán bằng một cách khác. Chúng ta sẽ quay lại với những câu hỏi ở một trong những phần kế tiếp của bài viết này.

 

Có một sự thật là những kĩ thuật mà chúng ta dùng giải toán đa phần đều là bắt chước hoặc là kết hợp một cách tài tình những kĩ thuật mà mình đã được biết. Cũng có những lúc chúng ta tự sáng tạo ra những kĩ thuật mới nhưng điều đó đòi hỏi kinh nghiệm và kiến thức rất nhiều. Khi học vào một mảng mới thì các bạn cần phải nắm vững các kiến thức cơ bản và biết vận dụng chứng minh được các tính chất cơ bản từ những kiến thức đó. Để làm được những bài toán trong một mảng mới, thường chúng ta phải bắt đầu với việc... đọc lời giải. Cái việc đọc lời giải nó cũng không phải là một chuyện dễ dàng, vì không chỉ đơn thuần hiểu các bước lời giải đưa ra để thấy nó đúng, mà hơn thế cần hiểu tại sao lại đưa đến một ý tưởng như thế? Lời giải này có điểm gì hay? Nó có ưu điểm, khuyết điểm gì? Nếu ta thay đổi bài toán một chút thì có dùng được nữa không? Giải quyết những câu hỏi như thế sẽ làm các bạn hiểu vấn đề hơn. Thử lấy một ví dụ đơn giản.

 

Đặt $S_1(n) = 1+2+3+..+n$. Chứng minh $S_1(n) = \frac{n(n+1)}{2}$

 

Lời giải 1: Ta chứng minh quy nạp, giả sử bài toán đúng với $n$ thì $S_1(n+1) = S_1(n)+n+1 = \frac{n(n+1)}{2} + n+1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$. Vậy bài toán cũng đúng với $n+1$.

(Một lời giải hoàn chỉnh cần tuân thủ đúng các bước quy nạp nhưng mình chỉ viết ngắn gọn để nắm được ý chính)

Lời giải này khá là đơn giản và dễ hiểu. Tuy nhiên chúng ta chả thấy một chút bản chất vấn đề nào cả, nếu người ta không cho giá trị của vế phải biểu thức thì làm sao chúng ta lấy ra kết quả mà quy nạp? Đó là một điểm mà mình không thích lắm ở phương pháp quy nạp. Đôi khi chúng ta không thực sự hiểu rõ cách vận hành của bài toán khi dùng quy nạp.

 

Lời giải 2: Chúng ta đến với một lời giải hợp lí hơn 1 chút để lấy ra kết quả. Ta bắt cặp các số có tổng là $n+1$ khi đó sẽ tạo được $\frac{n}{2}$ cặp (cần biện luận rõ hơn chút về tính chẵn lẻ của $n$). Suy ra $S_1(n) = \frac{n(n+1)}{2}$

Lời giải này rõ ràng chỉ cho chúng ta thấy cách tìm ra công thức ở vế phải phần chứng minh và khá là ngắn gọn. Tuy nhiên nhược điểm của nó là chỉ dùng được khi mà đây là tổng của một cấp số cộng. Nếu như cần tính tổng của $1^2+2^2+...+n^2$ thì làm thế nào?

 

Lời giải 3: Ta có:

$$ (n+1)^2 - n^2 = 2n+1$$

$$ n^2 - (n-1)^2 = 2(n-1)+1$$

$$...$$

$$2^2 - 1 = 2.1+1$$

Cộng theo vế lại thì ta có $(n+1)^2 -1 = 2S_1(n)+n \Rightarrow S_1(n) = \frac{n(n+1)}{2}$

 

Một cách chân thành thì lời giải thứ 3 này có vẻ xấu xí và dài dòng nhất. Nhưng nó lại là chìa khóa để có thể tính $S_2(n) = 1^2+2^2+...+n^2$ hay là $S_3(n) = 1^3+2^3+...+n^3$.

 

Vì vậy không hẳn một lời giải ngắn gọn đẹp mắt đã là tối ưu. Việc mở rộng bài toán có thể đưa đến cho chúng ta những ý tưởng mới mẻ hơn vì thế đừng nên hài lòng rằng lời giải đã chứng minh được cái mà ta cần chứng minh. Khi đọc một lời giải cần hiểu rõ ý nghĩa và tác dụng của nó như thế nào. Vì thế khi trình bày một lời giải trên diễn đàn cho người khác cũng nên chỉ cho họ thấy cách mà bạn đi đến lời giải hơn là chỉ việc chỉ ra quy nạp như lời giải đầu tiên.

 

Chúng ta quay lại với việc đặt câu hỏi. Đây là một kĩ năng rất quan trọng. Đa số trong chúng ta chỉ chú tâm đến việc giải toán hơn là đặt ra đề toán. Việc giải toán nó đơn thuần nằm ở kĩ năng, đôi khi một người giải toán tốt chỉ vì người đó có kĩ năng đặt ra những câu hỏi tốt. Có một sự thật là học sinh chúng ta giải rất nhiều bài IMO, nhưng gần như là không có đề thi IMO nào có đề bài do người VN đề xuất cả. Việc đặt ra những vấn đề đòi hỏi tầm nhìn và đôi khi đặt ra một đề toán hay nó còn khó hơn cả giải quyết vấn đề nữa. Hãy cùng xem xét một vấn đề đơn giản như hàm bậc 2 và parabol, thử xem là ta có thể đặt ra những câu hỏi gì?

 

Đầu tiên ta sẽ tự hỏi parabol là hình gì? Tính chất nó như thế nào? Khi đó ta sẽ suy ra tính chất của hàm bậc 2 dựa theo tính chất Parabbol! Đôi lúc mình còn tự hỏi là người ta định nghĩa Parabol từ trước rồi như hình tròn, hình vuông, hình chữ nhật và rồi họ nhận ra hàm bậc 2 có dạng hình Parabol hay là cái hình thể hiện hàm bậc 2 được người ta đặt tên là parabol? Cần bao nhiêu điểm thì dựng được 1 parabol? Để xác định 1 hàm bậc 2 ta cần 3 tham số, vậy cần 3 phương trình để tìm ra 3 tham số, do đó khả năng là cần ít nhất 3 điểm để dựng được Parabol hoặc là biết điểm đáy Parabol và một điểm khác đáy thì sẽ dựng được! Ta thấy hình Parabol luôn đối xứng qua 1 trục, đồ thị của hàm bậc 2 thì trục đối xứng luôn thẳng đứng, vậy với 1 Parabol mà trục bất kì ko nhất thiết thẳng đứng thì cần ít nhất mấy điểm mới xác định được Parabol? Nhớ lại thầy cô khi vẽ parabol thường lấy 1 điểm đáy và 2 điểm đối xứng nhau thuộc đồ thị rồi vẽ 2 đường cong đối xứng tạo thành Parabol. Nhưng vấn đề là đường cong đó dựng như thế nào? Cong như thế nào mới chuẩn  )? Chúng ta thường vẽ rất cảm tính, thử tìm hiểu xem cơ sở để vẽ đường cong đó là như thế nào?

Thường khi nhắc đến 1 khái niệm mình thường nghĩ đến ví dụ điển hình của khái niệm đó. Ví dụ tập hợp $n$ phần tử thì thường nghĩ đến tập từ $1$ đến $n$. Tư duy trên những thứ cụ thể vẫn dễ hơn. Khi nhắc đến hàm bậc 2 mình thường nghĩ đến $x^2$ và khi nhắc đến hàm chẵn thì mình cũng nghĩ đến $x^2$. Nó đem lại 1 sự liên hệ nào đó và mình nhận ra bản chất của hàm chẵn là hàm số có đồ thị đói xứng qua trục $Oy$ và hàm lẻ thì là hàm số có đồ thị đối xứng qua tâm $O$. Parabol luôn có một trục thẳng đứng phải không? Vậy có nghĩa hàm bậc 2 được xem như là "chẵn" với một trục nào đó. $x^3$ là một hàm lẻ, vậy liệu với mọi hàm bậc 3 thì ta có luôn tìm được một tâm đối xứng cho đồ thị hàm đó hay không? Hàm bậc 4 thì sao?

 

Đấy cứ liên tục đặt câu hỏi như thế thì chắc chắn chẳng thiếu toán để làm rồi! Đôi khi chỉ từ 1 bài toán đơn giản bạn có thể mở rộng ra rất nhiều lí thuyết thú vị. Để đặt được câu hỏi, đôi lúc cần tầm nhìn ở vấn đề, tư duy nhận xét và rõ ràng là nó không đơn giản tí nào cả. Thay vì tạo ra 1 bài toán bằng cách kết hợp nhiều phương pháp, kĩ thuật rồi thêm bớt cho nó ra một vẻ ngoài ưa nhìn, đi từ lời giải ra đề bài. Bạn có thể chọn một bài toán mình thích, phát triển các yếu tố trong vấn đề và đặt ra một giả thuyết đẹp rồi cố gắng chứng minh nó. Cách đó tuyệt vời hơn rất nhiều!

 

Cuối cùng mình sẽ đề cập đến vấn đề liên tưởng trong việc học toán. Đôi lúc chúng ta có thể nhìn vấn đề này bằng một cách khác hoặc bằng những thứ khác giúp chúng ta dễ hình dung hơn và dễ xử lí hơn rất nhiều. Những ví dụ có thể các bạn đã biết đến như là việc biểu diễn một tập con của tập gồm $n$ phần tử bằng một xâu nhị phân độ dài $n$ hay việc giải phương trình Pell bằng cái nhìn của số phức.

 

Ngày trước khi vừa vào lớp 10 phải làm quen với những khái niệm về tập hợp, thực sự là khá mơ hồ và mình thử liên tưởng quan hệ giữa hai tập hợp giống như quan hệ chia hết giữa hai số (cứ thử hình dung ta chỉ xét những số có khai triển thừa số nguyên tố đều có lũy thừa cao nhất là 1 tức những số không có ước dạng $p^2$) bạn sẽ thấy có gì đó tương đồng. Khi đó phép hợp và giao của 2 tập hợp nó giống như phép lấy UCLN và BCNN giữa 2 số vậy. Ở một khía cạnh nào đó bạn sẽ thấy có mối tương đồng giữa 2 phép toán này:

$$ a.b = UCLN(a,b).BCNN(a,b)$$

$$ |A| + |B| = |A \cap B| + |A \cup B|$$

 

Một ví dụ khác $a$ chia hết cho $b$, $b$ chia hết cho $c$ thì $a$ chia hết cho $c$. Ta có thể thấy tương ứng bên tập hợp là $A$ chứa $B$, $B$ chứa $C$ thì $A$ chứa $C$.

 

Từ đó có thể từ tính chất của phép chia hết suy ra những tính chất của tập hợp (chiều ngược lại thì chưa chắc nhé!).

 

Trên đây mình đã đề cập 3 vấn đề chính là hiểu bản chất lời giải, phát triển vấn đề bằng cách đặt câu hỏi và nhìn nhận vấn đề bằng sự liên tưởng. Mình cũng đã lựa chọn đưa ra những vấn đề đơn giản để làm ví dụ cho các bạn dễ hiểu. Hi vọng là các bạn tìm thấy một chút gì đó thú vị hay là một chút cảm hứng gì đó từ bài chia sẻ này.

 

Qua đây mình cũng muốn chia sẻ thêm một chút với các bạn về tư tưởng khi các bạn tiếp cận với toán. Theo quan điểm cá nhân của bản thân mình thì tư duy sáng tạo nằm ở khả năng suy nghĩ critique, còn tư duy logic thì nằm ở kĩ năng nhiều hơn. Ở nước ta, việc thi cử và thành tích luôn được chú trọng, có quá nhiều những nơi luyện thi hay những tài liệu để rèn kỹ năng giải toán cho các bạn, nhưng không nhiều nơi dạy cho bạn cách tư duy phản biện. Đôi lúc cách tư duy phản biện của chúng ta có hình thành và tiến bộ nhưng có lẽ nó hơi vô thức. Các bạn cần ý thức để cải thiện việc này một cách chủ động. Đó là lí do vì sao mình luôn nhấn mạnh việc cần phải đặt những câu hỏi vì sao và cần phải hiểu những điều cốt lõi của vấn đề. Cách tư duy này không chỉ giúp cho các bạn mỗi việc làm toán, nó là nền tảng để các bạn có thể tư duy mọi vấn đề trong tương lai. Nên nhớ việc bạn giải thật nhiều bài toán hơn so với phần còn lại, không quan trọng bằng việc bạn tư duy khác biệt so với phần còn lại.

 

Với cá nhân mình nghĩ thì điều quan trọng nhất đó là các bạn phải tìm thấy được niềm vui khi học toán và học toán chỉ để vui chứ chẳng vì cái gì cả. Khi mình bước vào cấp 3 thì đó là điều mà mình không thể làm được nữa và rồi mình phải từ bỏ toán. Bởi vì ở môi trường ở Việt Nam, chúng ta quá bị áp lực bởi thành tích, nhưng chung quy đó không phải là thứ quan trọng nhất. Mình khuyên các bạn trẻ hơn đang tuổi học toán trên ghế nhà trường, các bạn nên xem việc học toán chỉ đơn giản như là niềm vui, niềm đam mê của bản thân thôi, đó không nên là thứ để ganh đua thành tích. Việc chia sẻ những gì bản thân bạn biết với người khác cũng là một thứ cần thiết. Không chỉ toán mà trong bất kì một lĩnh vực nào, các bạn nên tìm cho mình 3 người. Người thứ nhất giỏi hơn bạn, để bạn học hỏi từ họ mà tiến bộ, người thứ 2 cùng đẳng cấp với bạn để mà bạn cùng rèn luyện hỗ trợ nhau để tiến bộ và người người thứ 3 không giỏi bằng bạn, để bạn giúp đỡ chỉ bảo giải thích cho họ, bạn chưa thực sự hiểu rõ vấn đề nếu bạn chưa thể giải thích sao cho người khác hiểu, đó cũng là cách để bạn hiểu rõ hơn những thứ mà bạn đã biết và nó cũng sẽ giúp bạn tiến bộ.

 

Chúc các bạn có những thành công và luôn tìm được niềm vui với môn Toán và nếu có thể các bạn nên viết chia sẻ cách các bạn học toán với mọi người bởi nếu các bạn chưa thể giải thích cho người khác bạn học như thế nào thì hẳn là bạn vẫn chưa hiểu rõ cách mà bản thân mình học toán hehe.

 

Thể theo nguyện vọng của đồng chí supermember, lâu lâu lên diễn đàn trao đổi với đồng chí một tí, cũng hi vọng là có thể chia sẻ trao đổi chút gì đó với các bạn.

Từ một bài số học mình biết cũng khá lâu, hôm nay rỗi rãi phát biểu nó sang một bài tổ hợp. Cho một tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử, và một dãy tập hợp con khác rỗng phân biệt của $A$ là $A_1,A_2,...,A_T$ với $T=(n-1)^2+1$. Với một dãy số nguyên dương tăng bất kì $a_1,a_2,..,a_n$ mà $a_n \le T$ thì tồn tại $i,j,1 \le i < j \le n$ và $A_{a_i}$ là một tập con của $A_{a_j}$. Chứng minh cái dãy tập hợp trên chứa A.

Thử giải xem nào đại ca supermember. Qua chủ đề này có thể mình sẽ nói 1 chút về sự liên hệ giữa các con số và tập hợp. Theo các bạn là nó có liên hệ gì không?

         Mình là thành viên tham gia VMF từ những năm 2009 và cũng gần như chỉ tham gia làm toán trên VMF nên đối với nó có ít nhiều kỉ niệm. Nick trước đây của mình có đến 1000 post và hầu hết chỉ là post đề và đưa ra lời giải các bài toán của các bạn khác. Tuy nhiên đến bây giờ mình lại thấy rằng 1000 post đấy chẳng có ý nghĩa gì cả với người khác. Diễn đàn là nơi để chúng ta thảo luận, trao đổi và cùng giúp nhau học toán chứ không chỉ là những đề toán và lời giải. Bất chợt một suy nghĩ đến là đã đến lúc viết một cái gì đó chia sẻ về cách mình học toán với các bạn. Đây chỉ đơn thuần là một bài viết cho các bạn một cái nhìn về cách học và quan điểm học toán của một người khác để các bạn mạnh dạn chia sẻ những điều tương tự của bản thân, không phải một cẩm nang cho các bạn hay một sự khoe mẽ nào cả, hoàn toàn là những chia sẻ chân thành.

         Trước tiên nói về quan điểm học toán, theo ý kiến cá nhân mình thì có 5 mức độ:

Biết->biết và làm được->biết, làm được và hiểu nữa-> sau khi hiểu thì lại thắc mắc những vấn đề mới, những mở rộng và đưa ra những câu hỏi xa hơn một lời giải->cuối cùng là có thể tự đặt ra, tự giải quyết tất cả những vấn đề, những mở rộng.

          Hầu hết chúng ta chỉ dừng ở mức độ 3, thậm chí cái hiểu nó vẫn chưa tường tận. Một vấn đề lớn là đa số chúng ta học toán còn cảm tính. Có rất nhiều người học toán giỏi, họ vẫn đặt ra những vấn đề, những câu hỏi và giải quyết được hết nhưng đa phần xuất phát từ thói quen tư duy, cảm nhận của họ chứ không bắt nguồn từ những suy nghĩ chủ động. Vậy nên mới có chuyện người ta giải thích cho lời giải của mình là nhìn vào điều kiện A, ta có cảm giác là nên đưa vào một lượng B để chứng minh được điều C.

           Bạn đừng bao giờ tự ti vì mình không thể đưa ra lời giải trong khi những người khác làm được hay vì nhìn thấy cậu bạn cùng khóa học những thứ trên trời mây mà mình chả hiểu và chả dám học. Và cũng đừng tự hào khi post lên một lời giải với một skill, một bổ đề nào đó mà người hỏi chưa học. Bởi sau khi họ xem lời giải của bạn, học được những thứ đó rồi thì bạn chẳng còn dịp để thể hiện trong lần sau nữa Vì thế có những người học trước kiến thức đến 2,3 năm, bài nào cũng biết lời giải, bá đạo một vùng nhưng về sau thua kém những người khác là chuyện thường. Không phải họ không cố gắng như trước mà đơn giản bề sâu tư duy không phải là thứ cần cù và học trước có thể bù đắp được nếu không biết cách.

           Điều quan trọng với một bài toán là gì? Không phải là ai giải được mà là ai nhìn ra được nhiều thứ hơn! Học một hiểu mười nó là vậy. Tầm nhìn rất quan trọng nó kết hợp cả tư duy lẫn hiểu biết, đụng vào một bài toán có nhiều cách tiếp cận và hướng đi nhưng người có tầm nhìn sẽ biết cái nào dẫn được ra kết quả. Một bài toán khó là một bài toán mà không phân nhỏ ra được. Nếu một bài toán bạn không giải được nhưng khi phân ra thành các câu a,b,c,d,… thành các bước nhỏ thì lại làm được, điều đấy có nghĩa kĩ năng của bạn hoàn toàn có thể giải bài toán này nhưng tầm nhìn của bạn chưa thể xếp ngang hàng với nó.

          Để kết thúc bài chia sẻ này mình sẽ kể cho các bạn câu chuyện về những ngày đầu mình học dãy số, cụ thể là tìm số hạng tổng quát của dãy số. Có thể đối với một số bạn học toán Olympiad thì những thứ này quen thuộc, đơn giản đến tầm thường, nhưng như thầy Thanh đã nói, cái gì mình tự tìm ra cũng thấy “sướng” hơn là đọc được.

Như các bạn biết thì mở đầu học dãy số những dãy cơ bản đầu tiên được giới thiệu là csc và csn có dạng $a_{n+1}=a_n+k$ và $a_{n+1}=k.a_n$ trong đó $k$ là một hằng số.

         Điều thú vị đầu tiên mà mình tìm thấy là csc có thể được đưa về csn với hệ số bằng 1. Tức là ta có thể viết $a_{n+1}-k(n+1)=a_n-kn=….=a_0-k.0$.

          Giờ nếu thêm một hệ số tự do vào csn hay một hệ số nhân vào csc thì sẽ thế nào ? $a_{n+1}=k.a_n+b$

Với ý tưởng đưa về csn mình mau chóng xử lí được bằng cách thêm một hằng số $c$ vào $a_n$ tức là viết lại thành $a_{n+1}+c=k(a_n+c)$, giải ra $c$ theo $b$ trừ khi $k=1$, nhưng trường hợp này thì nó là csc giải quyết như trên rồi !!

Bây giờ nếu thay hệ số tự do không là hằng số nữa. Chú ý một cái gì đó chạy không hằng ở đây thì sẽ liên quan đến $n$. Đơn giản ta xét dãy dạng $a_{n+1}=k.a_n+a.n+b$, vẫn ý tưởng đưa về csn, ở trên xử lí với hằng số ta thêm vào hằng số thì giờ biểu thức bậc nhất thêm vào $a_n$ dạng bậc nhất là $c.n+d$. Tức là ta sẽ viết lại thành : $a_{n+1}+c(n+1)+d=k.(a_n+cn+d)$, đồng nhất thì được hệ pt 2 ẩn, 2pt, có thể giải theo $a,b$ trừ khi $k=1$. Đây vấn đề đây rồi !

Mày mò một chút, mình thấy trường hợp $k=1$ ở trên giải quyết với hằng số nhưng mình lại thêm bớt bậc nhất (biến đổi đấy là một biến đổi dễ thấy hoàn toàn không chủ động tạo ra tìm kiếm lượng thêm bớt), ý tưởng đến là mình sẽ nâng lượng thêm vào lên một bậc là bậc 2. Và giải quyết được ! Và mình nhận ra là thêm bậc 2 thì bậc 2 sẽ bị khử đi khi $k=1$ nhưng nó sẽ làm hệ số của $n$ lệch đi và không bị khử.

          Tiếp tục thay đổi công thức truy hồi ban đầu mình rút ra được là với một dãy $a_{n+1}=k.a_n+P(n)$ trong đó $P(n)$ là đa thức bậc $n$ thì ta giải quyết bằng cách thêm vào $a_n$ một lượng đa thức $Q(n)$ bằng bậc của $P(n)$ và nếu $k=1$ thì $Q(n)$ hơn $P(n)$ một bậc. Sẽ ra các hpt có thể giải được !

         Bây giờ nếu đổi $k$ là không là hằng số nữa thì sao. Thay $k$ là một biểu thức bậc nhất theo $n$, $a_{n+1}=(an+b)a_n+P(n)$

         Đến cái này thì bí thì phải Tuy nhiên mày mò không ra cái này nhưng trong quá trình đó mình tìm được là nếu đổi bài toán lại thành $(an+b)a_{n+1}=a_n+P(n) (1)$  thì mình lại làm được, bằng cách đặt $f(n+1)=an+b=a(n+1)+b-a$ tức $f(n)=an+b-a$ khi đó ta có

$$f(n+1)a_{n+1}=a_n+P(n) \Rightarrow f(n+1)f(n)…f(1)f(0)a_{n+1}=f(n)f(n-1)…f(1)f(0)a_n+Q(n)$$

         Trong đó $Q(n)=P(n)f(n)…f(0)$ là một đa thức theo $n$. Vậy nếu đặt $u_n=f(0)f(1)…f(n)a_n$ thì ra bài toán ở trên rồi. Nhưng xem xét lại thì bậc của $Q(n)$ không tính được Sau đấy mình có thử cho $P(n)$ ở $(1)$ có bậc âm nhưng không đến đâu thì phải. Nói chung đến đây dù chẳng thu được thêm kết quả nào nhưng trong quá trình bế tắc mình cũng tìm ra những ý tưởng mới thú vị. Ví dụ từ ý tưởng nhân thêm nhiều hàm $f$ như trên mình nghĩ ra cách xử lí khác cho dãy $a_{n+1}=k.a_n+b^n$  bằng cách đặt $a_n=b^n.u_n$ sẽ khử được $b^n$. Và có một số ý tưởng khác nhưng quá lâu rồi không nhớ nó như thế nào!

          Một ví dụ khác khi gặp bài toán tìm số hạng tổng quát của $a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}$

Sau khi mày mò một thời gian khá lâu mới nảy ra ý tưởng nghịch đảo 2 vế để đưa dãy này về dãy $\frac{1}{a_n}$.

         Từ ý tưởng này mình đi đến xây dựng cách tính cho dãy dạng $a_{n+1}=\frac{a_n+b}{ca_n+d}$ chú ý là hệ số của $a_n$ ở tử luôn có thể đưa về $1$. Ý tưởng nghịch đảo đưa mình đến giải pháp tìm một số $x$ để $a_{n+1}-x=\frac{(1-cx)a_n+b-xd}{ca_n+d}$ phải tạo ra ở tử một dạng $k(a_n-x)$ điều này có nghĩa là $\frac{1-cx}{b-xd}=-x$ đây là pt bậc 2 hoàn toàn tìm ra $x$ đặt lại dãy mới là $u_n=\frac{1}{a_n-x}$ có dạng đã biết.

      Có một số vấn đề khác như về phương trình đặc trưng, một số dạng dãy số đặc thù như $a_{n+1}=ka_{n}-a_{n-1}$,… nảy sinh khá nhiều ý tưởng đồng thời giúp mình hiểu khá nhiều về những lí thuyết trong sách nhưng giờ quên nhiều rồi vả lại không có nhiều thời gian hẹn các bạn dịp khác, bài viết nên dừng ở đây thôi*_*

      Luôn đặt vấn đề, luôn đặt câu hỏi là điều cần làm tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng giải quyết được. Mỗi mảng không giải quyết được đều ít nhiều cho mình ý tưởng về cái khác và quan trọng mình luôn tự hỏi tại sao lại không làm được, những khúc mắc đấy làm hiểu ra rất nhiều vấn đề. Hi vọng các bạn có một cái nhìn mới về việc học toán qua topic này!