fghost

Với $R$ là 1 vành, cho đa thức $f= a_0+ a_1 X+ \dots + a_n X^n \in R[X]$. Kí hiệu với vành bất kì $A$, thì $A^*$ là tập hợp những phần tử khả nghịch của vành $A$. Chứng minh

(a) $f \in R[X]^*$ khi và chỉ khi $a_0 \in R^* $ và $a_i$ là phần tử lũy linh với $i>0$

(b) $f$ là ước của $0$ trong vành $R[X]$ khi và chỉ khi tồn tại $0 \ne b \in R$ sao cho $bf=0$

Bài này có lẽ không chứng minh trực tiếp được, ít nhất là câu (a) cần dùng quy nạp.

Cho $R$ là vành giao hoán với đơn vị, $x \in R$, $I$ ideal, và $p_1, \dots, p_r$ là ideal nguyên tố.

Chứng minh nếu $Rx+I \not\subset \bigcup_{i=1}^{r}p_i$, thì tồn tại $y \in I$ sao cho $x+y \notin \bigcup_{i=1}^{r}p_i$.

Mình chưa giải rõ bài này, nhưng mình nghĩ có lẽ chứng minh quy nạp trên $r$ và chọn $y$ phù hợp sẽ được (tương tự như chứng minh của Prime Avoidance lemma).