HAHHA

Eo ôi, anh no viết sao hay thế
Nhưng mà bọn con gái như em thấy cũng xót xa chứ bộ =((

$BĐT\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\geq 2\frac{a}{c}+2\frac{b}{a}+2\frac{c}{b}$
Áp dụng AM-GM cho 3 số , ta có:
$a^3+\frac{1}{c^3}+\frac{a}{c}\geq 3\frac{a}{c}\Leftrightarrow a^3+\frac{1}{c^3}\geq 2\frac{a}{c}$
$c^3+\frac{1}{b^3}\geq 2\frac{c}{b}$
$b^3+\frac{1}{a^3}\geq 2\frac{b}{a}$
Cộng theo vế , ta có BĐT
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài làm sai rồi bạn.
Ta có $a^3+\dfrac{1}{c^3}+1 \ge 3\dfrac{a}{c}, b^3+\dfrac{1}{a^3}+1\ge 3\dfrac{b}{a}, c^3+\dfrac{1}{b^3} +1\ge 3\dfrac{c}{b}$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}+3 \ge 3\left (\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\right ) \ge 2\left (\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\right ) +3$
Suy ra ĐPCM.

Cho các số thực dương sao cho $a+b+c+d=1$ . Chứng minh rằng :
$$6\left (a^3+b^3+c^3+d^3\right )\ge a^2+b^2+c^2+d^2+\dfrac{1}{8}$$