thanhelf96

Chuẩn hóa $a+b+c=3$.Ta sẽ CM :$H\leq \frac{6}{5}$

BĐT $< = > \sum \frac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2}\leq \frac{6}{5}< = > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{3}{5}$

Mà $\sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \sum \frac{2a+3}{25}< = > (a-1)^2(a+2)\geq 0$(đúng)

$= > \sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{2\sum a+9}{25}=\frac{2.3+9}{25}=\frac{3}{5}$

bạn ơi! cho mình hỏi làm thế nào để có kết quả chuẩn hóa bằng 3 vậy bạn?

chuẩn hóa $a+b+c=1$

bđt tuong đương $\frac{a(1-a)}{(1-a)^{2}+a^{2}}+\frac{b(1-b)}{(1-b)^{2}+b^{2}}+\frac{c(1-c)}{(1-c)^{2}+c^{2}}$

có $\frac{a(1-a)}{(1-a)^{2}+a^{2}}=\frac{a(1-a)}{2a^{2}-2a+1}=\frac{a(1-a)}{1-2a(1-a)}\leq \frac{a(1-a)}{1-\frac{(a+1)^{2}}{4}}=\frac{a(1-a)}{(1-\frac{a+1}{2})(1+\frac{a+1}{2})}=\frac{4a(1-a)}{(1-a)(a+3)}=\frac{4a}{a+3}=4-\frac{12}{a+3}$

suy ra $H\leq 12-12(\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3})\leq 12-12\frac{9}{10}=\frac{6}{5}$

suy ra max= $\frac{6}{5}$

bạn ơi! cho mình hỏi chuẩn hóa nghĩa là thê nào với? làm sao để có được kết quả a+b+c=1

Đặt: $f(x)=4x^{3}+3x-m, \forall x\epsilon \mathbb{R}$$\Rightarrow$ hàm số f(x) liên tục trên R.

+) $f(0)=m$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [ x^{3}(4+\frac{3}{x^{2}}-\frac{m}{x^{3}}) \right ]=-\infty$

$\Rightarrow$ tồn tại: $x_{1}<0$ để $f(x_{1})<0$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ x^{3}(4+\frac{3}{x^{2}}-\frac{m}{x^{3}}) \right ]=+\infty$

$\Rightarrow$ tồn tại $x_{2}> 0$ để $f(x_{2})>0$

+) Với: $m> 0\Rightarrow f(0).f(x_{1})<0$

mà hàm số f(x) liên tục trên $\left ( x_{1} ;0\right )$

$\Rightarrow \forall m>0$ thì phương trình f(x)=0 luôn có ít nhất một nghiêm thuộc $(x_{1};0)$

chứng minh tương tự với m<0

$\left [ 3\sqrt{x}-(x+2) \right ]+\left [ 3\sqrt{5-x}-(7-x) \right ]=3x^{3}-12x^{2}-3x+12$

$\Leftrightarrow \frac{-x^{2}+5x-4}{3\sqrt{x}+(x+2)}+\frac{-x^{2}+5x-4}{3\sqrt{5-x}+(7-x)}=3(x^{2}-5x+4)(x+1)$

ĐK: $x\ge 1;y\ge 0$.

Từ PT thứ hai ta có $\sqrt y=x-1$.

Đặt $t=\sqrt{x-1}$. ĐK $t\ge 0$.

Ta thay vào PT đầu tiên được $t-t^2=8-(t^2+1)^2\Leftrightarrow t^4+t^2+t-7=0$

rồi làm tiếp thế nào vậy bạn? pt ẩn t không có nghiệm đặc biệt.