hoangquan9x

cho $\left\{\begin{matrix} m;n\in \mathbb{N}\\ 1\leq m;n\leq 1981 \\ (m^2-mn-n^2)^2=1 \end{matrix}\right.$.Tìm GTLN $P=x^2+y^2$

 

NTP

Sao lại m,n.Em đâu có thấy liên quan gì với P

   MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH NHIỆM NGUYÊN,SỐ CHÍNH PHƯƠNG

   Chủ đề nhiệm nguyên,số chính phương là một chủ đè tuy không phải là quá khó nhưng cũng gây cản trở cho không ít người, Vì vậy mình lập TOPIC này cũng mong giải quyết phần nào vấn đề đó .Mong các bạn ủng hộ.

   I.Số chính phương

1 Lí thuyết

a,Định nghĩa

-Một số được gọi là Số chính phương nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng bình phương của một số nguyên.

    CHÚ Ý : Khi nói một số là số chính phương , giả sử số đó có dạng $n^{2}$ $\left ( n\in N \right )$.Với $m\in Z$ thì$m^{2},\left ( m+1 \right )^{2}$ là hai số chính phương liên tiếp và không có hai số chính phương nào giữa hai số trên.

b,Một số chính phương có tính chất gì?

-Một số chính phương thì chỉ có thể có số tận cùng là 1,4,5,6,9

-Số chính phương chẵn chia hết cho 4.Số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1 và chia 8 cũng dư 1

-Số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1

-Nếu một số chính phương chia hết cho số nguyên p thì đồng thời chia hết cho $p^{2}$

 2 Ví dụ mẫu

1. Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}$

    Chứng minh $\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )\left ( 1+c^{2} \right )$ là một số chính phương

Giải

 Dể chứng minh một số là số chính phương ta cần biểu diễn số đó thành bình phương một số nguyên

Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{abc}$

=>ab+bc+ca=1

 Thay 1=ab+bc+ca ta có

$1+a^{2}=ab+bc+ca+a^{2}=a\left ( a+b \right )+c\left ( a+b \right )=\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )$

   CM tương tự

=>$1+b^{2}=\left ( b+a \right )\left ( a+c \right )$

    $1+c^{2}=\left ( c+a \right )\left ( c+b \right )$

=>$\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )\left ( 1+c^{2} \right )=\left [\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )\left ( b+c \right ) \right ]^{2}$

  Lại có a,b,c nguyên

=>$\left ( 1+a^{2} \right )\left ( 1+b^{2} \right )\left ( 1+c^{2} \right )=\left [\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )\left ( b+c \right ) \right ]^{2}$ là số chính phương.

    II Phương trình nhiệm nguyên

  1 Lí thuyết

    Các bạn thì chắc ai cũng biết đến PT nhiệm nguyên nên về mặt này không có gì mới lạ do vậy mình không nhắc lại nữa.

  2 Một số phương pháp tìm nhiệm nguyên

a,Thông thường

 VD: Tìm nhiệm nguyên của PT

         7x - 4y = 23

Giải

Ta có 7x -4y = 23

=>$y=\frac{23-7x}{4}=\frac{24-8x+x-1}{4}=\frac{x-1}{4}+2\left ( 3-x \right )$

Để y nguyên => $\frac{x-1}{4}$ phải nguyên (với x nguyên)

=>$4\in U_{x-1}$

     Đặt $\frac{x-1}{4}$ =t ($t\in Z$)

=>x = 4t + 1

<=>y = 4 - 7t

 Thư lại thấy thỏa mãn

=>x = 4t + 1 và y =4 - 7t

b,Một số cách khác

   (1)Xét số dư

VD: CMR phương trình

      $4x^{2}+4x=8y^{3}-2z^{2}+5$

 Không có nhiệm nguyên.

 Giải

Ta có $4x^{2}+4x=8y^{3}-2z^{2}+5$

 =>$4x^{2}+4x+1=8y^{3}-2z^{2}+5$

=>$\left ( 2x+1 \right )^{2}=8y^{3}-2z^{2}+5$

  Giả sử x,y,z là số nguyên

Lại có

 $\left ( 2x+1 \right )^{2}$ là bình phương số lẻ

   =>$\left ( 2x+1 \right )^{2}$ : 8 dư 1

<=>VT : 8 Dư 1 (1)

Mặt khác

$8y^{3}$:8 không dư

$2z^{2}$:8 dư 2 (nếu z lẻ)

$2z^{2}$:8 dư hết 9 nếu z chẵn)

=>VP:8 dư 3(nếu z lẻ )

    VP:8 dư 5  (nếu z chẵn) (2)

Từ (1),(2)

=> Vô lí

=>x,y,z không là số nguyên

    (2)Xét ước

VD: Giải phương trình nghiệm nguyên:

     $x^{2}-10xy-11y^{2}=13$

Giải

 Ta có  $x^{2}-10xy-11y^{2}=13$

=>$\left ( x+y \right )\left ( x-11y \right )=13$

  => (x + y)và (x-11y) là Ước 13

Mà $U_{13}\in \left \{ 1;-1;13;-13 \right \}$

   Có thể lập bảng xét giá trị hoặc cũng có thể thế vào giải hệ phương trình

=>Phương trình có 4 cặp nhiệm nguyên (x;y) là (2;-1), (-2;1), (12;1), (-12;-1)

   (3)Sử dụng phương pháp lập luận

VD:Giải phương trình nghiệm nguyên:

   $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$

Giải

Gọi $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}$ là(1) ĐKXĐ: $y\geq 1$

    + Nếu y=-1 thì $x^{2}=1$ => x = $_{-}^{+}\textrm{1}$

    +Nếu y=0 thì $x^{2}=1$ => x = $_{-}^{+}\textrm{1}$

    +Nếu $y> 0$ => $y+1> 1$

         =>$\sqrt{y+1}< y+1< 2y+1$

       Ta có $y^{2}< x^{2}$

         Mà $x^{2}=y^{2}+\sqrt{y+1}< 2y+1+y^{2}=\left ( y+1 \right )^{2}$

                =>$y< |x|< y+1$

       => PT (1) không có nhiệm nguyên khi $y> 0$

 =>PT (1) có 4 cập nhiệm (x;y) là (1;-1),(-1;-1),(1;0),(-1;0)

 c,Một số phương pháp thường gặp

  -Giải phương trình nhiệm nguyên bằng cách đưa về phương trình tích

  -Giải phương trình nhiệm nguyên bằng cách sử dụng tính chia hết

  -Giải phương trình nhiệm nguyên bằng cách sủ dụng phương pháp đánh giá

VD:Giải phương trình nghiệm nguyên:

           $5x^{2}-4xy+y^{2}-6x+8=0$

Giải

Cách 1:Biến đổi phương trình thành $\left ( 2x-y \right )^{2}+\left ( x+3 \right )^{2}=1$

   Vì $1=0^{2}+1=0^{2}+(-1)^{2}$ nên ta có các trường hơp sau

$2x-y=0; x-3=1=>(x;y)=(4;8)$

$2x-y=0;x-3=-1=>(x;y)=(2;4)$

$2x-y=1;x-3=0=>(x;y)=(3;5)$

$2x-y=-1;x-3=0=>(x;y)=(3;7)$

Cách 2:Xét phương trình bậc 2 ẩn y : $y^{2}-4xy+\left ( 5x^{2}-6x+8 \right )=0$

   Ta có

    $\triangle `_{y}=-x^{2}+6x-8=1-(x-3)^{2}\geq 0<=>2\leq x\leq 4$

Xét các trường hợp

=>Kết quả như cách 1

   -Giải phương trình nhiệm nguyên bằng cách nguyên tắc cực hạng

Nguyên tắc cực hạng có một kết quả thường dùng để giải PT nhiệm nguyên:Trong một tập hợp khác rỗng các số nguyên dương,luôn chọn ra được một   số nguyên dương nhỏ nhất.Để CM tập hợp S các số nguyên  dương thỏa mãn yêu cầu bài toán là tập rỗng ,ta giả sử S khác rỗng và khi đó chọn ra phần tử m thuộc S mà m nhỏ nhất, nhưng ngay sau đó nếu ta chỉ ra được 1 số nguyên dương nhỏ hơn m mà thuộc S thì chứng tỏ điều giả sử sai, nghĩa lả S rỗng

                  Em hơi lười nên hay viết tắt ,các bạn thông cảm nghen,với lại do 1 số phương pháp quá quen thuộc nên mình không ghi ví dụ,sai đâu,thiếu đâu các bạn sửa rùm nha.

   Đây chỉ là một trong rất nhiều cách CM khác,En chỉ cung cấp thêm một số phương pháp mới (đối với em).

Mong các anh ,chị có thêm lời góp ý

III Bài tập thực hành

     

1 Giải phương trình nghiệm nguyên:

    $x^{2}-\left ( y+2 \right )x+3-y=0$

2.Giải phương trình nghiệm nguyên:

    $xy-4=2x+3y$

3 Giải phương trình nghiệm nguyên:

    $5xy+z+2y=7$

4 Giải phương trình nghiệm nguyên:$12x^{2}+6xy+3y^{2}=28\left ( x+y \right )$

  

      Đây là một số bài thực hành đơn giản (với ai học giỏi, còn em thì không) nhưng dù sao cũng mong mọi người ủng hộ và góp ý cho TOPIC thêm phát triển .Em trân thành cảm ơn

Mình sẽ giải nốt bài 17

   Theo đề bài

=>$\left ( x+1 \right )^{2}=1-x$

 Nhân tung gia rồi nhóm lại ta được

  $3\left ( x+\frac{2}{3} \right )^{3}=\frac{17}{27}$

=>$x=\sqrt[3]{\frac{17}{27}}-\frac{2}{3}$

  Có gì sai mong mọi người chỉ giáo

Với bài 15 còn có thể sử dụng cách CM hình học đó

  Minh làm thử nha.Sai đâu các cậu sửa nha:

     Vẽ tứ giác ABCD có AC vuông góc BD ,o là giao 2 đg tréo

  Đặt OA=a,OB=c,OC=b,OD=d là các số dương

    Theo Py-ta-go:

    $AB=\sqrt{a^{2}+c^{2}}$

    $BC=\sqrt{b^{2}+c^{2}}$

    $AD=\sqrt{a^{2}+d^{2}}$

    $CD=\sqrt{b^{2}+d^{2}}$

    AC=a+b

    BD=c+d

Ta sẽ CM : $AB.BC+AD.CD\geq AC.BD$

   Ta có $AB.BC\geq 2S_{ABC}$

             $AD.CD\geq 2S_{ADC}$

 =>$AB.BC+AD.CD\geq 2S_{ABCD}=AC.BD$

   Theo cách đặt

 =>ĐPCM

Sao hông ai đăng bài hết vậy

   Thui cứ đăng vài bài các bạn làm nha

15.Chứng minh BĐT:

          $\sqrt{\left ( a^{2}+c^{2} \right )\left ( b^{2}+c^{2} \right )}+\sqrt{\left ( a^{2}+d^{2} \right )\left ( b^{2}+d^{2} \right )}\geq \left ( a+b \right )\left ( c+d \right )$

  Với a,b,c,d là các số thực dương

   Các bạn đăng thêm nhé .Mình đi chút việc teo đăng thêm

 đặt $x=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$ thì $x^2=2+x$

 Em vừa phát hiện thêm một nỗi lữa nhé

    Anh xem thử nó có đúng không nghe

   Nếu đặt :

            $x=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$ (có 100 dấu căn)

 Thì theo em khi bình nên không có bằng x+2 được .

    Anh xem có đúng không ,nó mất 1 dấu căn rùi mà.

 $x^2=2+x$ và $x>0$ nên $x=2$

 Ý sao ra được bước này vậy anh?

    Nếu anh chia cả 2 vế cho x thì em nghĩ không ổn.Anh xem lại rùm em nha

Và x cũng không có bằng 2 được.Em tóm tắt cách nghĩ của em về việc đó nha:

    Ta có

              $2< 4$ (điều hiển nhiên)

    =>$\sqrt{2}< 2$

  =>$2+\sqrt{2}< 4$

=>$\sqrt{2+\sqrt{2}}< 2$

        Rùi làm tương tự,em sẽ chứng minh được:

                                         $\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}< 2$  (có 100 dấu căn )

         Anh xem có gì sai sửa rùm em nghe

                                CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

1.Chứng minh bất đẳng thức với a,b không âm

    $\frac{\left ( a+b\right )^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$

2.Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác.Chứng minh

   $\sqrt{2}\left ( a+b+c \right )\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}\left ( a+b+c \right )$

3. Chứng minh bất đẳng thức Côsi với ba số a,b,c không âm

   $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

4.Cho các số dương a,b,c,d biết $\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}+\frac{d}{1+d}\leq 1$

       Chứng minh $abcd\leq \frac{1}{81}$

5.Chứng minh BĐT

       $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$ (với các số x,y,z dương )

  bằng cách áp dụng BĐT ôssi và Bu-nhi-a-cốp-xki

6. Cho $a=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}},b=2\sqrt[3]{3}$

      Chứng minh $a< b$

7.a,Chứng minh với mọi số nguyên dương n,ta có $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}< 3$

   b,Chứng minh rằng trong các số có dạng $\sqrt[n]{n}$(n là số tự nhiên ,$n\geq 2$),số $\sqrt[3]{3}$ có giá trị lớn nhất

8.Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của

       $\sqrt{o,999...9}$(20 chữ số 9)

9.Cho hai dãy số sắp thứ tự:$a\geq b\geq c và x\leq y\leq z$

      Chứng minh bất đẳng thức $\left ( a+b+c \right )\left ( x+y+z \right )\geq 3\left ( ax+by+cz \right )$

10. Chứng minh rằng:

    a,Số$\left ( 8+3\sqrt{7} \right )^{7}$ có bảy chữ số 9 liền sau dấu phẩy

    b,Số $\left ( 7+4\sqrt{3} \right )^{10}$ có mười chữ số 9 liền sau dấu phẩy

 11.Kí hiệu $a_{n}$ là số nguyên gần $\sqrt{n}$ nhất

      VD $\sqrt{1}=1=>a_{1}=1

            \sqrt{2}\approx 1,4=>a_{2}=1

            \sqrt{3}\approx 1,7=>a_{3}=2$          

  Tính $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{1980}}$

 

               Còn nhiều lắm ,anh chị cố giải rùm em nhe.Hi Hi

 

 Chứng minh với mọi số nguyên dương n:

            $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\leq n\sqrt{\frac{n+1}{2}}$

 

 

 Cho A=$\frac{1}{2}$.$\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot ...\cdot \frac{2n-1}{2n}$ $\left ( n\in N,n\geq 2 \right )$

          Chứng minh rằng :

                  a,  $A< \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$

                  b,$A< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

 

Bài toán: Tìm giới hạn $$ A=\lim_{x\to+\infty}\; x^{2012}\left (\frac{x}{x-1}-\left (\frac{1}{x^{2012}}+\frac{1}{x}+1\right )\right ) $$

A=$\lim_{n \to +\infty }x^{2012}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-1)$
$=\lim_{n \to +\infty }(\frac{x^{2012}}{x-1}-x^{2011}-1)$
$= \lim_{n \to +\infty }(\frac{x^{2011}}{x-1}-1)$
$=+ \infty$

Bài 2, mình đã giải trong này :http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=28980
nhưng hơi dài nên ngại gõ phiền bạn chịu khó xem vậy!!!
Bài 3,$\lim_{x\to 0}\left | \frac{1-\left | 1+sin3x \right |}{\sqrt{1-cosx}} \right |$
$=\lim_{x\to 0}\left | \frac{1-1-sin3x}{\sqrt{1-cosx}} \right |$
Vì$1+sin3x\geq 0$
$=\lim_{x\to 0}\frac{\left | sin3x \right |\sqrt{1+cosx}}{(\sqrt{1-cos^2x})^2}$
$=\lim_{x\to 0}\frac{\left | sinx \right |.\left | 3-4sin^2x \right |.\sqrt{1+cosx}}{\left | sinx \right |}$
$=\lim_{x\to 0}\left | 3-4sin^2x \right |\sqrt{1+cosx}=3\sqrt{2}$

$=\lim_{n\to+\infty }\sqrt{\frac{(2n-1)^2(2n+3)}{n^4+n^2+2}}$

$=\lim_{n\to+\infty }\sqrt{\frac{(2n-1)^2(2n+3)}{n^4+n^2+2}}$
$=\lim_{n\to+\infty }\sqrt{\frac{(2-\frac{1}{n})^2.(\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2})}{1+\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^4}}}$
$=0$

Tìm $lim(n^2-2^n)$

$lim(n^2-2^n)$=$lim\left ( n^2(1-\frac{2^n}{n^2}) \right )$
=$-\infty$

Vì ta dựa vào kết quả sau
: $\lim_{x \to +\infty }\frac{x^n}{a^x}=0 (a> 1,n> 0)$

Bài toán: Tính tổng $$S=\sum\limits_{n \ge 0} {{3^n}{{\sin }^3}\left( {\frac{x}{{{3^n}}}} \right)} $$

Mình xin giải bài toán này như sau (có chô nào không đúng mong các bạn góp ý) :
ta có :$sin^3a=\frac{3sina-sin3a}{4}$
Suy ra $3^nsin^3\left ( \frac{x}{3^n} \right )=3^n.\frac{3sin\frac{x}{3^n}-sin\frac{x}{3^{n-1}}}{4}$
Áp dụng với n= 0,1,2,3,4……n ta được:
$S=\frac{3sinx-sin3x}{4}+3.\frac{3sin\frac{x}{3}-sinx}{4}+3^2.\frac{sin\frac{x}{3^2}-sin\frac{x}{3}}{4}+...+3^n.\frac{3sin\frac{x}{3^n}-sin\frac{x}{3^{n-1}}}{4}$
$= \frac{-sin3x}{4}+\frac{3^{n+1}.sin\frac{x}{3^{n}}}{4}$