anh892007

Làm cách nào ra được vậy bạn

Ra cái j hả bạn?

Bài này có ở sách của thầy Phan Huy Khải, mình xin trình bày lại đầy đủ để mọi người có thể tham khảo thêm cách giải ngắn gọn, dễ hiểu và rất đẹp của thầy

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$

Do $x,y$ dương nên phương trình trên tương đương với:

$x+y+2\sqrt{xy}=x+y+4+4\sqrt{x+y}

\Leftrightarrow \sqrt{xy}=2(1+\sqrt{x+y})(*)$

$\Leftrightarrow xy=4(1+x+y+2\sqrt{x+y})

\Leftrightarrow 8\sqrt{x+y}=xy-4x-4y-4(1)$

Do $x,y$ nguyên dương nên từ $(1)$ suy ra $\sqrt{x+y}$ là số nguyên.
Từ $(*)$ ta thấy $\sqrt{xy}$ là số chẵn, đặt $\sqrt{xy}=2t,t$ nguyên dương.

Từ phương trình đã cho ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=t+1 & \\ \sqrt{xy}=2t & \end{matrix}\right.$

Theo định lí Viete suy ra $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là hai nghiệm của phương trình:

$z^2-(t+1)z+2t=0(2)$

Xét biệt thức $\triangle $ của $(2)$:

$\triangle =(t+1)^2-8t=t^2-6t+1$

Để phương trình trên có nghiệm nguyên $\triangle$ phải là số chính phương,trước hết:

$\triangle \geq 0\Leftrightarrow t^2-6t+1\geq 0
\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
t\geq 3+\sqrt{8} \\t\leq 3-\sqrt{8}
\end{array} \right.$

Do $t$ nguyên dương nên $t\geq 6$

Mặc khác:

$\triangle -(t-3)^2=t^2-6t+1-t^2+6t-9=-8<0$

$\triangle -(t-5)^2=t^2-6t+1-t^2+10t-25=4t-24\geq 0$ (do $t\geq 6$ )

nên: $(t-5)^2\leq \triangle <(t-3)^2$

Từ $(3)$ và do $\triangle$ là số chính phương nên:

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
\triangle =(t-5)^2 \\\triangle =(t-4)^2
\end{array} \right.$

a) Nếu $\triangle =(t-5)^2\Rightarrow t^2-6t+1=t^2-10t+25\Rightarrow t=6$. Từ $(2)$ ta có:

$z^2-7z+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z=3\\z=4
\end{array} \right.$

Với trường hợp này phương trình có hai nghiệm nguyên dương: $(x,y)=(9,16),(16,9)$

b) Nếu $\triangle=(t-4)^2\Rightarrow t^2-6t+1=t^2-8t+16\Rightarrow 2t=15$. Trường hợp này loại do $t$ không nguyên.

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm nguyên dương: $(x,y)=(9,16),(16,9)$

Chỗ này $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ có phải nguyên đâu bạn??????

 

2) Cho a,b,c thỏa mãn: a+b+c=1 ; a²+b²+c²=1 và a³+b³+c³=1.

Tính tích abc

 

Có hệ thức này:

$a^3+b^3+c^3 -3abc =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$  (Các bạn tự chứng minh nhé)

Như vậy:

$6abc = 2(a^3+b^3+c^3)- (a+b+c)[3(a^2+b^2+c^2) - (a+b+c)^2]$

Như vậy theo đề bài thì $abc=0$

2 câu trên mk nghĩ ổn rồi đấy

Tiếp câu c. Do x>3

$M=x+5+\frac{25}{x-3}=x-3+\frac{25}{x-3}+8\geq 2\sqrt{(x-3).\frac{25}{x-3}}+8=2.5+8=18\Rightarrow Min M=18\Leftrightarrow x-3=\frac{25}{x-3}\Leftrightarrow (x-3)^2=25\Leftrightarrow x\in \left \{ -2;8 \right \}(t/m)$

Sai rồi bạn ơi,$x=8$ thôi chứ

Ta có $(x-8)^2 \geq 0$

Hay:

$x^2+2x+10 \geq 18x-54 = 18(x-3)$

Do $x >3$ nên MinM= 18 khi $x=8$

$x^{4}+5x^{3}-14x^{2}-20x+16 = 0$ (*)

Thấy $x=0$ ko là nghiệm của pt

Nên chia cả 2 vế pt(*) cho $x^2$ 

được pt:

$x^2 +5x-14-\frac{20}{x}+\frac{16}{x^2}=0$

Đặt $x-\frac{4}{x} =t$ được $x^2+\frac{16}{x^2} =t^2+8$

Pt đã cho trở thành:

$t^2+8-14+5t =0 $

$\Leftrightarrow t^2+5t-6 =0 $

$\Leftrightarrow (t-1)(t+6)=0$

Từ đây giải tiếp 2 pt bậc 2 tìm nghiệm của x thôi ^^