NLT

Mình thấy cách giải của bạn 'Katyusha' khá hay, nhưng mình cũng có một cách giải khác, không dùng Cauchy-Schwartz,....

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

$\begin{array}{l}
\,\,\,\frac{{a^3 }}{{1 + b}} + \frac{{1 + b}}{4} + \frac{1}{2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{a^3 }}{{1 + b}}.\frac{{1 + b}}{4}.\frac{1}{2}}} = \frac{3}{2}a \\
\Rightarrow \,\frac{{a^3 }}{{1 + b}} \ge \frac{3}{2}a - \frac{{1 + b}}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}a - \frac{1}{4}b - \frac{3}{4} \\
\end{array}$ (1)
Tương tự, ta cũng có :

$\frac{{b^3 }}{{1 + a}} \ge \frac{3}{2}b - \frac{1}{4}a - \frac{3}{4}$ (2)
Cộng (1),(2) vế theo vế,ta được:

\[
\begin{array}{l}
\,\frac{{a^3 }}{{1 + b}} + \frac{{b^3 }}{{1 + a}} \ge \left( {\frac{3}{2}a - \frac{1}{4}b - \frac{3}{4}} \right) + \left( {\frac{3}{2}b - \frac{1}{4}a - \frac{3}{4}} \right) \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\frac{5}{4}(a + b) - \frac{3}{2} \ge \frac{5}{4}.2\sqrt {ab} - \frac{3}{2}(AM - GM) = \,1\, \\
\end{array}
\] (vì ab=1)
Vậy Min P=1 khi a=b=1

Mong các bạn góp ý, nhận xét

Bài này cũng khá đơn giản mà ...
Vì p là SNT >3 nên $p=3k+1$ hoặc $p=3k+2$ (k là số tự nhiên)
Nếu $p=3k+1$ thì $2p+1=6k+3 \vdots 3$; và $1<3<2p+1$ nên $2p+1$ là hợp số (mâu thuẫn giả thiết)
Do đó, $p= 3k+2 \Rightarrow 4p+1=12k+9 \vdots 3$ mà $1<3<4p+1 \Rightarrow 4p+1$ là hợp số (đpcm)

Các bạn ở Đà Nẵng ah`, cho mình làm quen với. Mà ở Đà Nẵng thi cấp tỉnh rồi ah`??? Mấy bạn làm được hok, bạn Huy ý, làm được tất cả chứ ????

Bài 3: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}xy = x + y - z\\yz = 3(y - x + z)\\zx = 2(x - y + z)\end{array} \right.$

Mình là thành viên mới, mình có một cách giải của bài toán này như sau, mong các bạn cho ý kiến :


$\left\{ \begin{array}{l}
xy = x + y - z\,\,\,\,\,\,\,(1) \\
yz = 3(y - x + z)\,\,(2) \\
zx = 2(x - y + z)\,\,(3) \\
\end{array} \right.$

Dễ thấy, nếu xyz=0 thì:
* x=0 => x=y=z=0 hoặc x=0;y=z=6
* y=0 => x=y=z=0 hoặc x=z=4;y=0
* z=0=> x=y=z=0 hoặc x=y=2;z=0
Với xyz khác 0, ta có :

\[
(1) \to z = x + y - xy\,
\]
thế vào (2),(3) ta đc:

\[
\begin{array}{l}
(2) \Leftrightarrow y(x + y - xy) = 3(y - x + x + y - xy) \\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,xy + y^2 - xy^2 = 6y - 3xy \\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,y(y - xy - 6 + 4x) = 0 \\
\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,y - xy + 4x = 6(vi`\,y \ne 0)\,\,\,\,\,(2') \\
\,\,\,\,\,\,\,\, \\
\end{array}
\]
Bằng việc làm tương tự như trên, ta cũng thế giá trị của z vào (3) và khi đó, ta được phương trình (3'):

\[
x - xy + 3y = 4(3')
\]
Lấy (2') trừ (3') vế theo vế và biến đổi ta được :

\[
y = \frac{{3x - 2}}{2}
\]
Thế giá trị y vừa tìm được vào 1 trong 2 phương trình(2') và (3'), ta được 1 phương trình bậc 2 theo ẩn x hoặc ẩn y, mình làm theo ẩn x và tìm được 2 giá trị của x là \[
\frac{7}{3}
\] và 2 nhưng loại đi giá trị x=2 vì từ đó suy ra y=2 & z=0. Vậy, kết luận, pt có 5 nghiệm (x;y;z)=(0;6;6);(4;0;4);(2;2;0)\[
(0;0;0);(\frac{7}{3};\frac{5}{2}; - 1)
\];
......................
Mình đã đọc cách giải của bạn Phạm Quang Toàn và thấy cách giải đó khá độc đáo, và mình đã cố gắng tìm ra một cách giải khác, đồng ý là không hay bằng cách của bạn Toàn, nhưng mình thường hay cố gắng tìm một những lời giải khác nhau và qua bài toán này, mình xin đưa ra bài toán tổng quát sau

giải hệ phương trình:\[
\left\{ \begin{array}{l}
a_1 xy = b_1 x + \,c_1 y + \,d_1 z) \\
a_2 yz = b_2 y + c_2 x + \,d_2 z) \\
a_3 xz = \,b_3 x + c_3 y + d_3 z) \\
\end{array} \right.
\]

(Với \[ a_i ,b_i ,c_i ,d_i \, \in \,R;\,(i = \overline {1,3} )\] )

............
Có thể nâng lên nhiều nữa nhưng kế tiếp bài toán của bạn Huy là vấn đề trên mình nêu ra.... Mong các bạn cho ý kiến . tks nhiều