davildark

Sặc đề sai rùi $y-1$ không phải $1-y$

Toạ độ trọng tâm tam giác là $x_{G}=\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}$

 

Và $y_{G}=\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}$ nên ta phải chỉ ra trong 19 cặp $(x_{i};y_{i})$ (i=1 đến 19) tồn tại 3 cặp thoả mãn

 

$3|x_{m}+x_{n}+x_{p}$

 

và $3|y_{m}+y_{n}+y_{p}$   (***)

 

Thật vậy.Trong 19 số $x_{i}$ tồn tại ít nhất 7 số $x_{1},x_{2},...,x_{7}$ đồng dư modun 3

 

xét 7 số $y_{1},y_{2},...,y_{7}$ cũng có it nhất 3 số $y_{a},y_{b},y_{c}$ đồng dư modun 3  (theo nguyên lí dirichlet)

 

Khi đó 3 cặp số $(x_{a};y_{a}),(x_{b};y_{b}),(x_{c};y_{c})$ thoả mãn  (***)

 

Hay đây là 3 đỉnh của một tam giác có trọng tâm nguyên

Dễ vậy mà làm không được (

Thui làm câu pt hàm vậy 

Dễ dàng quy nạp được $f(n) \leq n$ với $n\equiv 1 mod 3$

Từ đó ta có $2014\geq f(2014)\geq f(2)+2012$

$\Rightarrow f(2) \leq 2$

Quy nạp 1 lần nữa ta có  $f(n) \leq n$ với $n\equiv 2 mod 3$

$\Rightarrow 2015 \geq f(2015) \geq f(3)+2012$

$\Rightarrow f(3) \leq 3 $

Từ đó dễ dàng ta có $f(2013) \leq 2013$

Mà $f(2013) \geq 2013 $

Vậy $f(2013)=2013$

 

Àh câu 2 yêu cầu tìm diện tích lục giác câu này khoai nhất @@

Kết luận sai nghiệm ẩu quá

Đặt $\left\{\begin{matrix}
x=\tan A & \\
y=\tan B & \\
z=\tan C &
\end{matrix}\right. $ Với $ A,B,C \in \left [ -\frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2} \right ]$
Điều kiện $\cos A,B,C \neq 0$
Khi đó $x+y+z=xyz$
$$\Leftrightarrow \tan A +\tan B + \tan C =\tan A \tan B \tan C$$
$$\Leftrightarrow -\tan A=\tan (B+C) \\ \Leftrightarrow A+B+C=k\pi $$
Do điều kiện của A,B,C nên $ A+B+C=\pi $
Xét $\sin 2A=0$
$ \Rightarrow \sin A =0$
$ \Rightarrow \tan A=0 \\ \Rightarrow x=0$
$ \Rightarrow x=y=z=0 $
Thử lại $x=y=z=0$ là 1 bộ nghiệm
Xét $ \sin A,B,C \neq 0$
Ta có $\frac{156x}{x^{2}+1}=78\sin 2A$
Tương tự ta có $156\sin 2A=65\sin 2B=60\sin 2C$
Ta có $2A=2\pi -2B-2C \Rightarrow \sin 2A=\sin (2\pi -2B-2C)=-\sin (2B+2C)$
$$\Rightarrow 156\sin 2A=-156(\sin 2B\cos 2C + \sin 2C\cos 2B) $$
$$\Rightarrow 65\sin 2B=-156\sin 2B\cos 2C -169\sin 2B\cos 2C \ ( do \sin 2C=\frac{13}{12}\sin 2B) $$
$$\Rightarrow 65 + 165\cos 2C +169\cos 2C =0$$

SAI
Tương tự ta có hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}
65+156\cos 2C + 169\cos 2B=0\\
60+65\cos 2A +25\cos 2C=0 \\
156+60\cos 2B + 144\cos 2A =0
\end{matrix}\right.$$
Giải ta có
$$\left\{\begin{matrix}
\cos 2A =-\frac{12}{13}\\
\cos 2B= -\frac{5}{13}\\
\cos 2C= 0
\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x^2=25\\
y^2=\frac{9}{4}\\
z^2=0
\end{matrix}\right.$$
Thử lại ta có các bộ nghiệm $(x,y,z) = (0,0,0) , (5,$\frac{3}{2}$,0) ,(-5,$\frac{-3}{2}$,0)$

 

Điểm bài: 3

Mình thử thì hình như các số 101 , 1001 , 10101 vẫn thoả điều kiện cua số x