CXR

Đa tạp đại số:

Giả sử http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k là một trường đóng đại số với đặc số 0. Có thể coi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k là trường số phức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{C}.

I. Đa tạp affine trên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k. Đặt http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n biến trên http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?k. Một tập con không rỗng http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?I được gọi là một iđêan nếu:

(a) http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?I được định nghĩa bằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R là hữu hạn sinh (do http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R là vành Noether) nên để xác định tập đại số của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I ta chỉ cần xác định không điểm của một tập hữu hạn các đa thức).

Nhận xét rằng hợp của 2 tập đại số affine là một tập đại số affine (tương ứng với tích 2 iđêan) và giao của một họ các tập đại số affine là một tập đại số affine (tương ứng với hợp hay tổng các iđêan). Vậy tập tất cả các tập đại số affine (tương ứng với các iđêan của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R) cho ta một Tôpô trên không gian http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k^n. Các tập đóng của Tôpô này là các tập đại số affine và các tập mở được cho bởi các phần bù của chúng. Tôpô này gọi là Tôpô Zariski (theo tên nhà toán học nổi tiếng Oscar Zariski).

Tôpô Zariski có một vài tính chất đặc biệt sau:

(a) Tôpô Zariski không phải là Hausdorff.
(b) Mỗi tập mở của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n đều là trù mật trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n.

Tập http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k^n trang bị bởi Tôpô Zariski được gọi là không gian affine http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n chiều trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k. Ta ký hiệu không gian này là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n (dùng ký hiệu khác với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k^n để nhấn mạnh rằng ta có trang bị Tôpô Zariski).

Với mỗi tập con http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I được định nghĩa như sau
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I được gọi là căn nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n với các iđêan căn trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R. Sứ tương ứng này được cho bởi
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k là một tập đóng con của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n với số tự nhiên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n nào đó.

Ghi chú: Chính xác hơn thì các tập con mở của đa tạp affine cũng được coi là các đa tạp đại số (đôi khi được gọi là quasi-affine).

• phuc_90 yêu thích

Chủ đề này mở ra nhằm mục đích cung cấp những kiến thức và ngôn ngữ cơ bản cũng như một vài hướng nghiên cứu của chuyên ngành Hình học đại số (Algebraic Geometry). Hy vọng mọi người ủng hộ, ai biết nhiều viết nhiều, ai biết ít .. cũng viết nhiều

Với mục đích nhằm giới thiệu và phổ cập một chuyên ngành nên chủ đề sẽ tránh không đi sâu vào chi tiết cũng như các thuật ngữ mang nặng tính kỹ thuật. Cũng vì thế mà các bài viết (nếu tồn tại) sẽ không tránh khỏi đôi khi không hoàn toàn thật chính xác.

Người mở chủ đề có hy vọng sẽ điểm qua những điều sau:

(1) Đa tạp đại số, từ điển giữa hình học và đại số, định lý Nullstellensatz.
(2) Lược đồ - trừu tượng hóa và tổng quát hóa của đa tạp.
(3) Đường cong đại số.
(4) Mặt cong đại số, lược đồ nhiều chiều.
(5) Một vài hướng nghiên cứu cơ bản trong chuyên ngành.