letankhang

Chứng minh bất đẳng thức : $\sum \sqrt[3]{\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$
Với $a;b;c$ là các số thực dương thỏa $a+b+c=3$

BĐT cần chứng minh tương đương với :
$\sum \sqrt[3]{\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}}\geq \sum \frac{a}{\sqrt[3]{4}}$
Vậy ta cần chứng minh :
$\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}}\geq \frac{a}{\sqrt[3]{4}}\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{(3-a)^{2}}\geq \frac{a^{3}}{4}\Leftrightarrow \frac{1}{(3-a)^{2}}\geq \frac{a}{4}\Leftrightarrow a(3-a)^{2}-4\leq 0\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a-4)\leq 0$
Đẳng thức cuối luôn đúng do $a+b+c=3$ nên $a<4$
Chứng minh tương tự với các BĐT còn lại ta có $Q.E.D$

Chứng minh rằng: Trong một tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác là 3 điểm thẳng hàng.

Một cách ngắn gọn hơn ( lớp 10 )
Ta có :
$\left\{\begin{matrix} \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG} & \\ \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH} & \end{matrix}\right.\Rightarrow 3\vec{OG}=\vec{OH}$
Từ đẳng thức trên ta dễ thấy $O;G;H$ thẳng hàng.

Cho $a;b;c$ là các số thực dương thoả mãn : $abc=a+b+c$. Chứng minh rằng :
$\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\geq 1$

1 cách khác 
Áp dụng BĐT Cauchy :
$\Rightarrow \frac{a}{b^{3}}+\frac{a}{b^{3}}+\frac{1}{a^{2}}\geq \frac{3}{a^{2}}$
Chứng minh tương tự với các BĐT còn lại và cộng vế theo vế 
$\Rightarrow \sum \frac{a}{b^{3}}\geq \sum \frac{1}{a^{2}}$
Vậy ta cần chứng minh :
$\sum \frac{1}{a^{2}}\geq \sum \frac{1}{ab}$
$\Leftrightarrow \sum a^{2}b^{2}\geq abc(a+b+c)$ $(1)$
Mặt khác :
$\sum a^{2}b^{2}\geq \frac{(\sum ab)^{2}}{3}$
Ta có : $(ab-bc)^{2}+(bc-ca)^{2}+(ca-ab)^{2}\geq 0\Rightarrow 3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^{2}\Rightarrow \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}\geq abc(a+b+c)$
Suy ra $(1)$ được chứng minh
$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{2}}\geq \sum \frac{1}{ab}=1\Rightarrow \sum \frac{a}{b^{3}}\geq 1$
Dấu $=$ xảy ra : $\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$
Vậy ta có $Q.E.D$

c2

ta có $\widehat{ACD}= \widehat{ABD}= 60$

$AD= R\sqrt{3}$

$\Rightarrow DK=\sqrt{3R^{2}-x^{2}}$

lại có

$BK= x\sqrt{3}$

$\Rightarrow BD=x\sqrt{3}+\sqrt{3R^{2}-x^{2}}$

p/s mấy bạn lớp c làm bài thế nào

Bạn với Hiếu có nhầm không nhỉ !?

Bởi tam giác $ABK$ vuông tại $K$ có góc $\angle ABK=60^o$ nên : $BK=\frac{AK}{tan(60^o)}=\frac{x}{\sqrt{3}}$ mới đúng chứ nhỉ !?

1. Cho a,b > 0 thỏa mãn: $ab+1\leq b$ .Tìm Min P=$a+\frac{1}{a^{2}}+b^{2}+\frac{1}{b}$

Đặt : $\frac{1}{b}=k$
$gt\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+k\leq 1 & \\ P=a+\frac{1}{a^{2}}+k+\frac{1}{k^{2}} & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow P=(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}a+\frac{1}{16x^2})+(\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}k+\frac{1}{16k^2})+\frac{15}{16}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{k^{2}})\geq \frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{15}{16}.\frac{2}{ak}\geq \frac{3}{2}+\frac{15}{8}.\frac{4}{(a+k)^{2}}\geq \frac{3}{2}+\frac{15}{2}=9$
Vậy : $P_{\min}=9\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{2} & \\ b=2 & \end{matrix}\right.$